Hoe werkt substitutie bij het berekenen van integralen?
2.5K
2.5K keer bekeken
Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.
Het beste antwoord
Bekijk de integraal van f(x) over [a..b] (ik schrijf: int [a..b] f(x) dx. )
x is hier een zogenaamde ‘dummyvariabele’: de uitkomst van de integraal is onafhankelijk van x, en we 'gebruiken' x alleen maar om aan te geven dat we iets over de functie f over het interval [a..b] willen weten, maar x zelf is niet van belang.
Dat betekent dat je in plaats van x best iets anders zou kunnen invullen zonder dat de betekenis van de integraal echt verandert, bv iets wat zelf weer een functie van x is, zeg u(x), en dit zou handig kunnen zijn om je integraal makkelijker berekenbaar te maken. Natuurlijk moet je dan wèl op een aantal dingen letten:
Voor wat betreft de integraal:
1. Je moet de integrand (de te integreren functie) op de juiste manier omschrijven. Dit is niets nieuws, want dat moest je bij variabelensubstitutie altijd al doen.
2. Het herschrijven van de integratiegrenzen. Als je van x op u(x) overgaat, moet je er ook op letten dat je niet meer van a tot b integreert, maar van u(a) tot u(b). Ook logisch als je er even over nadenkt.
3—en dit is de geniepigste - Je zit in een differentiaalvorm te werken (in de integraal staat dx) , en als je van dx op du wilt overgaa, moet je rekening houden met de kettingregel.
Deze kettingregel is te schrijven als d (u(x)) = u ’ (x) dx ( waarbij u’ (x) de afgeleide is)
Voor wat betreft u(x):
u(x) moet zich wel een beetje ‘netjes’ gedragen op [a..b]. Bijvoorbeeld moet bij iedere x in [a..b] precies één u(x) horen, en omgekeerd bij iedere u(x) op [a..b] precies één x. Dit heet officieel ‘u(x) moet bijectief zijn op [a..b]’ en dit is belangrijk omdat je anders niet meer éénduidig ‘heen en terug’ kunt rekenen. Daarnaast moet u(x) differentieerbaar zijn op [a..b]. Dit is belangrijk omdat we dus met de kettingregel te maken krijgen en daarom u ’ (x) moeten kunnen bepalen op dat interval.
Om een vb. te geven. Stel, je wilt de functie x * e ^(x^2 ) integreren van 0 tot 2, dus
int [0..2] x * e ^(x^2 ) dx
Neem u(x) = x^2
a) Als x van 0.. 2 loopt, loopt u(x) dus van 0^2 .. 2^2 , dus van 0 tot 4
b) Kettingregel: du = d (x^2) = 2 x d x
Zo krijgen we:
int [0..2] x * e ^(x^2 ) dx =1/2 int [0..2] e ^(x^2 ) * (2 x dx) = 1/2 (int [0..4] e ^(u ) du ) ) = 1/2 ( e^4 -1)
Ik kan helaas niet meer uitleggen in deze beperkte ruimte, zie voor meer uitleg en voorbeelden:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Integratie_door_substitutie
http://www.wjvanderzanden.nl/sites/default/files/Sheets%20Klas%205B%2
(Lees meer...)
x is hier een zogenaamde ‘dummyvariabele’: de uitkomst van de integraal is onafhankelijk van x, en we 'gebruiken' x alleen maar om aan te geven dat we iets over de functie f over het interval [a..b] willen weten, maar x zelf is niet van belang.
Dat betekent dat je in plaats van x best iets anders zou kunnen invullen zonder dat de betekenis van de integraal echt verandert, bv iets wat zelf weer een functie van x is, zeg u(x), en dit zou handig kunnen zijn om je integraal makkelijker berekenbaar te maken. Natuurlijk moet je dan wèl op een aantal dingen letten:
Voor wat betreft de integraal:
1. Je moet de integrand (de te integreren functie) op de juiste manier omschrijven. Dit is niets nieuws, want dat moest je bij variabelensubstitutie altijd al doen.
2. Het herschrijven van de integratiegrenzen. Als je van x op u(x) overgaat, moet je er ook op letten dat je niet meer van a tot b integreert, maar van u(a) tot u(b). Ook logisch als je er even over nadenkt.
3—en dit is de geniepigste - Je zit in een differentiaalvorm te werken (in de integraal staat dx) , en als je van dx op du wilt overgaa, moet je rekening houden met de kettingregel.
Deze kettingregel is te schrijven als d (u(x)) = u ’ (x) dx ( waarbij u’ (x) de afgeleide is)
Voor wat betreft u(x):
u(x) moet zich wel een beetje ‘netjes’ gedragen op [a..b]. Bijvoorbeeld moet bij iedere x in [a..b] precies één u(x) horen, en omgekeerd bij iedere u(x) op [a..b] precies één x. Dit heet officieel ‘u(x) moet bijectief zijn op [a..b]’ en dit is belangrijk omdat je anders niet meer éénduidig ‘heen en terug’ kunt rekenen. Daarnaast moet u(x) differentieerbaar zijn op [a..b]. Dit is belangrijk omdat we dus met de kettingregel te maken krijgen en daarom u ’ (x) moeten kunnen bepalen op dat interval.
Om een vb. te geven. Stel, je wilt de functie x * e ^(x^2 ) integreren van 0 tot 2, dus
int [0..2] x * e ^(x^2 ) dx
Neem u(x) = x^2
a) Als x van 0.. 2 loopt, loopt u(x) dus van 0^2 .. 2^2 , dus van 0 tot 4
b) Kettingregel: du = d (x^2) = 2 x d x
Zo krijgen we:
int [0..2] x * e ^(x^2 ) dx =1/2 int [0..2] e ^(x^2 ) * (2 x dx) = 1/2 (int [0..4] e ^(u ) du ) ) = 1/2 ( e^4 -1)
Ik kan helaas niet meer uitleggen in deze beperkte ruimte, zie voor meer uitleg en voorbeelden:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Integratie_door_substitutie
http://www.wjvanderzanden.nl/sites/default/files/Sheets%20Klas%205B%2
9 jaar geleden
Andere antwoorden (1)
Ik zal het proberen uit te leggen. Ik leg niet de theorie uit. Gewoon zuiver hoe het moet. voorbeeld sin(2x). We zeggen dat 2x=u Deze letter hebben we zelf gekozen en mag eender welke zijn. Dan zouden we de integraal sin(u) krijgen. Deze kun je wel integreren, maar spijtig genoeg mogen we niet zomaar zeggen dat 2x=u. We moeten eerst de sin(u) delen door de afgeleide van 2x. Dus bereken de afgeleide van 2x. Dat is 2 dus de integraal is is sin(u)/2. Wat niet moeilijk te integreren is. -cos(u)/2 krijgen we dan. Achteraf vervangen we de u terug door 2x dan krijgen we -cos(2x). Dit was dan een voorbeeld. Waar moet je goed op letten. sin(x)x². We zouden kunnen zeggen dat x²=u. De afgeleide van x²= 2x. Dan zouden we krijgen sin(x)/2x. Het probleem is hier dat er nog x'en in de uitdrukking staan. Je moet zien dat alle x'en weg zijn nadat je hebt gezegd dat u=x². In sin(x)/2x staan nog x'en. Je weet dat x²=u dus x=vierkantswortel x. Nieuwe uitdrukking sin(vierkantswortel van u)/2vierkantwortel van u) Vergeet niet dat je dx. Wat je altijd zet achter je integraal moet zetten moet vervangen door de letter. Dus dx wordt d(u). Laat dit je er aan herinneren dat alle x'en dan weg moeten zijn. Oef... ik betwijfel dat dit alles duidelijk maakt.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
9 jaar geleden