Zijn er meer bijzondere getallenreeksen als 142857?

De reeks 142857 is bijzonder omdat hij zich bij vermenigvuldiging dezelfde getallen behoudt in dezelfde volgorde.
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285 enz.
Ik ben benieuwd of er meer van dit soort reeksen zijn.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

153846 x 3 = 461538 153846 x 4 = 615384 Toegevoegd na 12 minuten: 1176470588235294 x 2 = 2352941176470588 1176470588235294 x 3 = 3529411764705882 1176470588235294 x 4 = 4705882352941176 1176470588235294 x 5 = 5882352941176470 1176470588235294 x 6 = 7058823529411764 1176470588235294 x 7 = 8235294117647058 1176470588235294 x 8 = 9411764705882352 Toegevoegd na 32 minuten: 052631578947368421 x 2 = 105263157894736842 052631578947368421 x 3 = 157894736842105263 052631578947368421 x 4 = 210526315789473684 052631578947368421 x 5 = 263157894736842105 052631578947368421 x 6 = 315789473684210526 052631578947368421 x 7 = 368421052631578947 052631578947368421 x 8 = 421052631578947368 052631578947368421 x 9 = 473684210526315789 052631578947368421 x 10 = 526315789473684210 052631578947368421 x 11 = 578947368421052631 052631578947368421 x 12 = 631578947368421052 052631578947368421 x 13 = 684210526315789473 052631578947368421 x 14 = 736842105263157894 052631578947368421 x 15 = 789473684210526315 052631578947368421 x 16 = 842105263157894736 052631578947368421 x 17 = 894736842105263157 052631578947368421 x 18 = 947368421052631578

142857 × 3 = 428571 142857 × 5 = 714285 128205 × 4 = 512820 076923 × 9 = 692307

1/7 = 0.142857 142857 142857 142857 142857 enz. Dit is wel een heel bijzonder wiskundig geval. Het is mij niet bekend of er meer van dergelijke sequenties zijn met 6 verschilllende cijfers of meer, die met een repetent enkelvoudig getal komen veel voor, 1:88 levert bijvoorbeeld 0.013636363636363636.... 1:77 ziet er (voor zover ik kan zien) uit als 0.0 129870 129870 129870 Toegevoegd na 15 minuten: Bij het laatste getal heb ik het vermoeden dat het zich ook repeteert als zes verschillende getallen. Er zullen dus vanst meer zijn. Helaas is bij Pi geen repeterende sequentie gevonden. Helaas heb ik dat onderdeel van de wiskunde pakweg 40 jaar geleden gehad, kon het me nog wel herinneren terwijl de laatste reeks tussentijds niet meer aan de orde geweest is. Omdat ik ooit een SR 51A had (heb ik nog steeds, werkend, rekent in 13 cijfers nauwkeurig) kon ik de mantisse tevoorschijn halen door het begin van het getal wat geen repeterend beeld gaf, er af te trekken. Hij gaf dan 12 cijfers weer, de dertiende moest je door aftrek van de eerste voor de dag toveren. Toen was de geavanceerde rekenmachine wat nu de smartphone is, de docent observeerde altijd als ik met het apparaat rekende , het was toe de top of the bill, de HP had het nadeel van RPM (reciproke poolse notatie) wat in wezen vaak handiger werkt dan AOS (algebraic hierargic operating system( Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord) In die periode speelde ik vaak met die rekenmachine en heb zo wat wiskundige/rekenkundige patronen ontdekt.

Een klein stukje theorie. Iedereen leert op school vast nog wel ouderwets staartdelen. Stel dat je 1/7 uitrekent mbv een staartdeling. In iedere stap krijg je een restgetal waarmee je verder kunt delen door er een 'nul bij te halen'. Bij 7 zijn deze resten altijd 1,2,... 6 (zou je 0 krijgen, dan was je klaar met je staartdeling, zou je 7 krijgen dan had je de vorige stap niet goed gedaan :) ) . Ook is het logisch, dat als je een rest krijgt die je al eerder hebt gehad, de staartdeling vanaf dat moment precies zo verder gaat als bij die eerdere keer. Zo kan je makkelijk zien, dat 1/7 nooit een repeterende reeks van meer dan 6 cijfers kan krijgen. Ook kan je op deze manier makkelijk zien, dat als je 2/7 uitrekent, of 3/7, je steeds met precies dezelfde repeterende reeks te maken krijgt; je begint alleen op een ander punt in de reeks. Algemener kan je makkelijk zien dat als je 1/N uitrekent, je altijd een repeterende reeks van maximaal lengte N-1 krijgt.( Korter kan natuurlijk altijd, als je in een kleinere 'lus' terechtkomt (bv 1/6 = 0,1666666...), of als je op 0 uitkomt (1/2, 1/4, enz). ) De breuken met kortere repeterende reeksen laten we nu even buiten beschouwing. Waarom ? Omdat die niet opleveren wat we willen. Neem bv. 1/3= 0.33333, 2/3=0.66666.. of bijvoorbeeld 1/11=0.009090909..., 2/11= 0.1818181818... Hoe kan dit ? Simpel. Maak de staartdeling maar eens voor 1/3, dan zal je zien dat je nooit een rest 2 krijgt (maar altijd 1). Restwaarde 2 is ahw 'ongebruikt'. Maar die rest 2 krijg je natuurlijk wèl als je 2/3 uitrekent. Hetzelfde zie je als je 1/11 uitrekent: je krijgt altijd restwaarde 1 of je kan helemaal niet delen, de rest is 'ongebruikt'. Kortom, je moet precies die N hebben die een reeks van maximale lengte N-1 opleveren, omdat dan alle restwaarden wel 'gebruikt' worden, en de reeks niet anders kàn dan hetzelfde zijn als je 2/N, 3/N enz uitrekent -- alleen beginnend op een ander punt. Zo kan je simpel zien dat èlke getallenrij, die 'afgeleid' wordt uit zo'n staartdeling 1/N, en die de maximale lengte bereikt van N-1 (dus bijvoorbeeld 1/7, of 1/17), of 1/19, hieraan in principe zal voldoen. Het enige 'jammere' is dat voor elke N > 10, je de '0' moet meenemen aan het begin van de reeks, die het inderdaad wat kunstmatig maakt.... Er zijn misschien nog wel heel andere getallenreeksen die de gevraagde eigenschap hebben, dat weet ik zo niet. Ik geef hier alleen een familie van reeksen aan die het in ieder geval heeft.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100