Hoe kan ik deze som ontbinden?

eerst deel je door het getal voor de n^2 (-4) Je deelt alles door een negatief getal dus je gebruikt dit regeltje: neg/neg=pos -4 * (n^2+10n+21) Het tweede gedeelte kan je met de product-som-methode doen: -4*(n+3)(n+7)

-4n^2-40n-84 = 0 -4( n^2 +10n + 21) = 0 Beide kanten delen door -4: n^2 +10n + 21 = 0 Zoek 2 getallen die opgeteld +10 geven, en vermenigvuldigd 21: 7+3 = 10 7*3 = 21 dus n^2 +10n + 21 = (n + 7) (n + 3) = 0 Want alles met elkaar vermenigvuldigen (n+a)(n+b) = n*n+n*b+a*n+a*b = n*n + 3n + 7n + 21 = n^2 + 10n + 21 (n + 7) (n + 3) = 0 Dus n+7 = 0 of n+3 = 0 dus n=-7 of n=-3 Controle -4n^2-40n-84 = 0: -4*(-7^2) - 40*-7 - 84 = -4*49 + 280 - 84 = -196 + 280 - 84 = 0 -> klopt -4*(-3^2) - 40*-3 - 84 = -4*9 + 120 - 84 = -36 + 120 - 84 = 0 -> klopt

Het probleem met de som / product methode, zoals hiervoor geschetst is dat het niet altijd makkelijk uitvoerbaar is. Stel je hebt, p(x) = ax^2+bx+c met a ongelijk 0. Om p(x)=0 op te lossen, is het voldoende om p(x)/a = 0 op te lossen. Laat A = b/a en B = c/a. We willen nu oplossen q(x) = x^2+Ax+B = 0. Volgens bovenstaande methoden, ga je op zoek naar q en r, zodat A = q+r en B = q*r, maar dit is nog steeds even moelijk als het oorspronkelijke probleem. Immers, q = A-r, dus B = r*(A-r) = rA-r^2 (Weer een kwadratische vergelijking!). In plaats daarvan kun je beter opmerken dat (x+A/2)^2 = x^2 + Ax + A^2/4, zodat (x+A/2)^2 - A^2/4 + B = q(x) = 0. Dus, (x+A/2)^2 = A^2/4-B. Ofwel, x = -A/2 + wortel (A^2/4 - B) of x = -A/2 - wortel (A^2/4 - B) Uitgeschreven in a, b en c geeft dit: x = [-b + wortel(b^2 - 4ac)]/[2a] of x = [-b - wortel(b^2 - 4ac)]/[2a]. Dit wordt om overduidelijke redenen ook wel de "abc-formule" genoemd en is heel handig om dit soort problemen in zijn algemeenheid op te lossen.