Is 'dierbaar' verwant aan 'dier'?

Ja, maar niet op de manier die jij waarschijnlijk denkt. De verwantschap geldt nl. niet voor dier in de betekenis van een levend wezen (vos, olifant, muis etc), maar voor dier als verbastering van het woord duur, dat vroeger de betekenis van 'kostbaar' had. Er werd dan ook wel over 'duurbaar' gesproken; dat woord is echter uit ons taalgebruik verdwenen.

Gevormd uit dier, duur, en het achtervoegsel → -baar.
Het verschil tussen dier en duur is oorspr. dialectisch: de eerste vorm is westelijk (Vlaams, Zeeuws, West-Brabants), de tweede oostelijk. Dier behoort tot een hele reeks woorden waarin -ie- en noordoostelijker -uu- (voor r) of -ui- elkaar afwisselen, meestal met een stilistisch en soms met een betekenisverschil, zoals in → bestieren en → besturen, → rieken en → ruiken. Deze lexicale doubletten zijn voornamelijk in de 17e eeuw onder invloed van de immigratie uit de Zuidelijke Nederlanden tot stand gekomen. De Middelnederlandse betekenis van dierbaar was ‘kostbaar’.