Is een "klant" per definitie een betalend persoon?

Nee hoor. Want ook bezoekers van openbare bibliotheken en gemeentearchieven zijn klanten. En die hoeven niet voor alles wat zij daar willen doen te betalen. Een (oude) krant of tijdschrift lezen is bijvoorbeeld gratis. En internetgebruik vaak ook.

Wanneer je in een winkel rond loopt en niks koopt ben je ook klant, dus wanneer je iets krijgt kun je ook klant zijn lijkt mij

Taal is geen wiskunde. Er is niet 1 allesomvattende definitie van het begrip klant. Het is ook aan mode onderhevig. Vroeger was iemand die van psychiatrische psychiatrische voorzieningen gebruik maakte een patient. Later werd het een client of een klant. Mensen die bij het loket van een gemeente komen werden opeens ook klanten genoemd.
"Klant" is min of meer gaan betekenen "het afnemen van een product of dienst". Het aspect "betaling" is daarbij wat naar de achtergrond verschoven. Wel gaat het om een dienst waarbij een zekere mate van keuzevrijheid is om de dienst wel/niet af te nemen. We spreken b.v. niet van de klanten van een gevangenis.

Je bent in eerste instantie een potentiële klant. Als blijkt dat de deal niet gesloten word, ben je niks meer. Als ie wel gesloten word ben je wel klant.

De 'klant' neemt een product/dienst af. De financiéle afhandeling daarvan hoeft niet persé bij die klant te liggen! De klant neemt het initiatief...

Hoeft niet. Als je naar je huisarts gaat betaalt normaal gesproken je ziektekostenverzekering (als je voor haar/zijn diensten verzekerd bent), maar je bent toch een klant. Als je Wikipedia of een andere gratis website bezoekt ben je ook een klant. Zoals gezegd zijn die diensten helemaal gratis dus je betaalt niets. Toch ben je een klant van die website. Zomaar een paar voorbeeldjes van niet-betalende klanten.

Afnemer is trouwens een prima woord. Dat laat in het midden wie er betaalt, zelfs of er überhaupt iemand is die er geld of een tegenprestatie voor oplevert aan de leverancier (dienstverlener/verkoper)