Is ontstoken huid besmettelijk?

Nee, een ontsteking is nooit besmettelijk. Wat eventueel wel besmettelijk zou zijn is een infectie; als dat tenminste de oorzaak van de ontsteking is...
Helaas worden deze twee begrippen ten onrechte door elkaar gebruikt.

Een ontsteking is elke reactie van het lichaam waarbij roodheid, pijn, zwelling en een verminderde functie van het orgaan optreden. Deze symptomen zijn in wisselende mate aanwezig, soms maar zeer gering. Bij een infectie is er een (micro)organisme (een virus, bacterie, schimmel of parasiet) aan het groeien in een orgaan. Een infectie is een reden voor het lichaam om een ontstekingsreactie op gang te brengen, met als doel om de infectie te bestrijden.
Er zijn vele andere redenen waarom een ontstekingsreactie op gang kan komen, denk bijvoorbeeld aan reuma (ontsteking van de gewrichten), allergische reacties, insectenbeten, slijmbeursontstekingen, zelfs diabetes. Bij al deze voorbeelden is er geen sprake van een infectie, maar wel van een ontstekingsproces.

Goed, terug naar jouw situatie. Je hebt altijd al last van eczeem (overigens ook een ontstekingsproces zonder infectie!). Ik begrijp, dat het beeld nu anders is dan je gewend bent.
Eczeem (= dus ontsteking) zorgt voor een mindere functie van de huid (in dit geval minder barierre-functie) Hierdoor kan het makkelijker gebeuren dat er een bacterie in de huid komt en gaat groeien; de huid raakt dan dus geïnfecteerd. Er ontstaan dan (meestal gele of groene) korsten en soms blaasjes; dit zijn dus tekenen van de infectie. We noemen dit impetiginisatie.
Zoals je het beeld omschrijft klinkt het alsof dit bij jou gebeurd is. Het beleid van je huisarts (antibiotica) klopt hier ook bij.
Bacteriële infecties van de huid kunnen soms erg besmettelijk zijn; bij impetiginisatie is dat in de regel het geval. Dit betekent, dat je de bacteriën makkelijk met je vingers van de ene naar de andere plek (op jezelf of anderen) kunt overbrengen. Dit is makkelijk te voorkomen door na elk contact met het ontstoken gebied je handen te wassen.
Als je tabletten antibiotica hebt dan is de kans dat je jezelf besmet (naar een andere plek op je lichaam) klein aangezien de antibiotica ook op die andere plek komen. ALs je antibiotica zalf hebt gekregen, dan kan je die gebruiken als je ergens een puistje op ziet komen.

Dus; is de ontsteking besmettelijk: Nee.
Maar je hebt waarschijnlijk een infectie en die is waarschijnlijk wel besmettelijk.