Het antwoord is 1/80.
We noemen de zes mensen: A, B, C, D, E en F.
Persoon A heeft lootje B
Persoon B heeft lootje A.
De mogelijkheden waarop de lootjes C, D, E en F over de personen C, D, E en F verdeeld worden mits ze niet zichzelf hebben gaan we nu berekenen.
In totaal zijn dit 4! (4*3*2*1) = 24 mogelijkheden.
Hier moeten we nog de mogelijkheden waarbij mensen zichzelf hebben afhalen.
Iedereen heeft zichzelf -> 1 mogelijkheid
3 mensen hebben zichzelf -> 0 mogelijkheden
2 mensen hebben zichzelf -> 6 mogelijkheden.
We trekken twee lootjes uit de overgebleven 4. Dit kan op 4 boven 2 manieren, oftewel (4*3*2*1)/(2*1) = 12 manieren.
We delen dit aantal door twee.
Stel je trekt de lootjes C en D. De overgebleven lootjes mogen dan maar op 1 van de 2 manieren verdeeld zijn, anders heeft iedereen zichzelf.
1 iemand heeft zichzelf. -> 8 mogelijkheden.
Stel C heeft zichzelf. De personen D, E en F mogen dan niet zichzelf hebben.
De lootjes D, E en F moeten over de personen D, E en F verdeeld worden.
Persoon D heeft twee mogelijkheden.: E of F.
Stel persoon D heeft lootje E. De lootjes D en F moeten over de personen E en F verdeeld worden. Dit kan op 1 van de twee manieren: D, E, F = E, F, D. Bij de andere manier (E, D, F) heeft persoon F zichzelf.
Stel persoon D heeft lootje F. De lootjes D en E moeten over de personen E en F verdeeld worden. Dit kan weer op 1 van de twee manieren: D, E, F = F, D, E.
Er zijn dus twee manieren per persoon. Als 1 op de 4 personen zichzelf heeft dan zijn er nog twee mogelijkheden waarbij de rest niet zichzelf heeft. Daarom doe je 4 * 2 = 8 manieren.
24 - 1 - 6 - 8 = 9 mogelijkheden
In totaal kunnen de loten A, B, C, D, E en F op 6! (6*5*4*3*2*1) = 720 manieren verdeeld worden. Hiervan zijn er 9 mogelijkheden waarbij persoon A lootje B heeft en persoon B lootje A én waarbij niemand zichzelf heeft.
9/720 = 1/80