Hoe groot is de kans dat bij zes personen twee personen elkaar hebben?

We komen er hier thuis niet uit.
Er zijn zes mensen die meedoen met lootjes trekken, waaronder 1 stelletje. (Via een lotingssite waarbij je jezelf niet kan trekken)
Hoe groot is de kans dat dit stelletje elkaar trekt? (Wij gingen uit van 1/5 x 1/5 = 1/25. Klopt dit?

Hoe groot is de kans dat minstens 1 van de 2 de ander heeft?
Hoe groot is de kans dat precies 1 van de 2 de ander heeft?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het antwoord is 1/80. We noemen de zes mensen: A, B, C, D, E en F. Persoon A heeft lootje B Persoon B heeft lootje A. De mogelijkheden waarop de lootjes C, D, E en F over de personen C, D, E en F verdeeld worden mits ze niet zichzelf hebben gaan we nu berekenen. In totaal zijn dit 4! (4*3*2*1) = 24 mogelijkheden. Hier moeten we nog de mogelijkheden waarbij mensen zichzelf hebben afhalen. Iedereen heeft zichzelf -> 1 mogelijkheid 3 mensen hebben zichzelf -> 0 mogelijkheden 2 mensen hebben zichzelf -> 6 mogelijkheden. We trekken twee lootjes uit de overgebleven 4. Dit kan op 4 boven 2 manieren, oftewel (4*3*2*1)/(2*1) = 12 manieren. We delen dit aantal door twee. Stel je trekt de lootjes C en D. De overgebleven lootjes mogen dan maar op 1 van de 2 manieren verdeeld zijn, anders heeft iedereen zichzelf. 1 iemand heeft zichzelf. -> 8 mogelijkheden. Stel C heeft zichzelf. De personen D, E en F mogen dan niet zichzelf hebben. De lootjes D, E en F moeten over de personen D, E en F verdeeld worden. Persoon D heeft twee mogelijkheden.: E of F. Stel persoon D heeft lootje E. De lootjes D en F moeten over de personen E en F verdeeld worden. Dit kan op 1 van de twee manieren: D, E, F = E, F, D. Bij de andere manier (E, D, F) heeft persoon F zichzelf. Stel persoon D heeft lootje F. De lootjes D en E moeten over de personen E en F verdeeld worden. Dit kan weer op 1 van de twee manieren: D, E, F = F, D, E. Er zijn dus twee manieren per persoon. Als 1 op de 4 personen zichzelf heeft dan zijn er nog twee mogelijkheden waarbij de rest niet zichzelf heeft. Daarom doe je 4 * 2 = 8 manieren. 24 - 1 - 6 - 8 = 9 mogelijkheden In totaal kunnen de loten A, B, C, D, E en F op 6! (6*5*4*3*2*1) = 720 manieren verdeeld worden. Hiervan zijn er 9 mogelijkheden waarbij persoon A lootje B heeft en persoon B lootje A én waarbij niemand zichzelf heeft. 9/720 = 1/80

Het antwoord is 9/265. We hebben hier te maken met permutaties van zes elementen. Er zijn drie soorten: - permutaties die ongewenst zijn en daarom niet door het programma gegeven worden (waarbij iemand zichzelf trekt) - permutaties die het programma niet als ongewenst beschouwt, maar die in de gegeven situatie toch ongewenst zijn (waarbij een bepaald stel elkaar trekt) - gewenste permutaties (alle overige). Ik tel de tweede en de derde soort en gebruik daarbij de notatie van cykels zoals dat bij permutaties gebruikelijk is. Alle patronen met een 1-cykel sla ik over. Alle andere komen voor in bepaalde patronen en ik geef hoeveel ieder patroon voorkomt: (123456) komt 120 maal voor (nl. alle permutaties van 5 elementen) (12)(3456) komt 90 maal voor, nl 15 manieren om de 2-cykel te kiezen maal 6 manieren om de 4-cykel te kiezen. 6 van deze 90 zijn ongewenst nl die waarbij de 2-cykel het bepaalde stel is. (12)(34)(56) komt 15 maal voor, nl 5 manieren om de eerste 2-cykel te kiezen maal 3 manieren om de tweede 2-cykel te kiezen. Hiervan zijn 3 combinaties ongewenst. (123)(456) komt 40 maal voor, nl. 10 manieren om de eerste 3-cykel te kiezen maal 2 manieren voor de volgorde van de eerste 3-cykel maal twee manieren voor de volgorde van de tweede 3-cykel. Alle andere combinaties bevatten een 1-cykel en zijn dus al door het programma uitgesloten. Ik heb overigens deze combinaties ook allemaal geteld en kom dan op een totaal van 720. Dat moet ook, want het totaal aantal permutaties van zes elementen moet 720 zijn (6x5x4x3x2x1). Maar nu het antwoord: we hebben 6+3 ongewenste permutaties gevonden binnen een totaal van 120+90+15+40 mogelijk door het programma gegeven uitkomsten. De kans daarop is dus 9/265.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100