Hoe kan je de oppervlakte van een zeshoek met 4 ingeschreven cirkels berekenen?

Er zijn 4 cirkels met straal 3 in een gelijkzijdige zeshoek. Hoe kan ik de oppervlakte van die zeshoek berekenen?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Deze ga ik oplossen met coördinaten. De oorsprong is het midden van de zeshoek. De halve diagonaal (gelijk aan een zijde) noem ik a. We kijken even naar de linkerbovenkant van de figuur. De zijlijn heeft als vergelijking y = √3(x+a) want de richtingscoëfficiënt is de tangens van 60° en de lijn gaat door linker hoekpunt op (-a,0). De cirkel heeft als vergelijking (x+3)² + (y-3)² = 9 want het middelpunt is (-3,3) en de straal is 3. De zijlijn is een raaklijn aan de cirkel. Dus wanneer we het stelsel vergelijkingen proberen op te lossen, moet er één oplossing zijn. Dat is het geval als de discriminant van de vergelijking 0 is. √3(x+a) invullen voor y: (x+3)² + (√3(x+a)-3)² = 9 x² + 6x + 9 + (√3(x+a))² - 6√3(x+a) + 9 = 9 x² + 6x + 3x² + 6ax + 3a² - 6√3x - 6√3a + 9 = 0 4x² + (6 + 6a - 6√3)x + 3a² - 6√3a + 9 = 0 De discriminant is (6 + 6a - 6√3)² - 16(3a² - 6√3a + 9) Deze gelijkstellen aan 0 en a oplossen: 36 + 36a² + 108 + 72a - 72√3a - 72√3 - 48a² + 96√3a - 144 = 0 (36-48)a² + (72-72√3+96√3)a + (36+108-72√3-144) = 0 -12a² + (72+24√3)a - 72√3 = 0 ½a² - (3+√3)a + 3√3 = 0 a = (3+√3) ± √((3+√3)²-4*½*3√3) a = 3 + √3 ± √(9+6√3+3-6√3) = 3 + √3 ± 2√3 Er zijn twee oplossingen want er zijn twee raaklijnen aan de cirkel met de gevraagde richting. Het is duidelijk dat we degene met de grootste a moeten hebben. a = 3 + √3 + 2√3 = 3 + 3√3 ≈ 8,196 Nu nog de oppervlakte van de zeshoek, die is 3/2 * √3 * a² = 3/2 * √3 * (3 + 3√3)² = 3/2 * √3 * (9 + 18√3 + 27) = 54√3 + 81 = 27(3+2√3) ≈ 174,53 Toegevoegd na 5 dagen: Ik heb nu een - veel gemakkelijkere - meetkundige methode gevonden. De diagonaal vanuit het linker hoekpunt en de aan dat hoekpunt grenzende zijkant maken een hoek van 60° met elkaar, en raken allebei aan de cirkel. Een lijn van dit hoekpunt naar het middelpunt van de cirkel deelt deze hoek dus middendoor. Samen met de diagonaal en een loodlijn vanuit het middelpunt op de diagonaal vormt deze een 30-60-90 driehoek. De korte rechthoekszijde is 3 dus de lange rechthoekszijde moet 3√3 zijn. De afstand van de rechte hoek van deze driehoek tot het middelpunt van de zeshoek is 3. De halve diagonaal is dus 3 + 3√3. De oppervalkte volgt als tevoren.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100