Is het mogelijk te berekenen waar een lijn een parabool _raakt_?

Hierbij als voorbeeld: Je hebt de parabool: f(x) = x^2-4x en je hebt de lijn 2x+p. Voor welke waarde van p zal de lijn de parabool raken?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Je kan hier handig gebruikmaken van de abc-formule. De lijn is immers rakend aan de parabool als de lijn niet 0 of 2 snijpunten heeft met de parabool, maar precies één snijpunt. Snijpunten vind je door de vergelijken aan elkaar gelijk te stellen en op te lossen naar x. Als je echter niet de snijpunten zelf wil weten maar alleen de waarde van p opdat de lijn rakend is, zoek je dus de waarde van p zodat de discriminant (b²-4ac) van die kwadratische vergelijking, gelijk is aan 0. In dit geval: x² - 4x = 2x + p <=> x² -4x-2x-p = 0 <=> x² - 6x - p = 0 De discriminant is nu b²-4ac = (-6)²-4.(-p) = 36+4p en deze is 0 voor p = -9. Duidelijk zo? Grafiek ter controle hier: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%5E2-4x%2C2x-9%7D Toegevoegd na 2 minuten: * 'vergelijkingen' in plaats van 'vergelijken' natuurlijk, dat kan ik niet meer aanpassen.

Ja, je moet de afgeleide van de parabool bereken, dat is voor elke x de helling in plaats van de positie van y. De afgeleide van nx^g is ngx^g-1 dus hier is de afgeleide 2x-4. Dan vul je helling in (dat is 2, van 2x+p) en krijg je 2x-4 = 2, 2x = 6, x = 3 Dat is de x-waarde waar de parabool een helling van 2 heeft. Invullen in de parabool geeft je 3^2-4*3 = -3, dat is de y-waarde Nu het punt (3,-3) invullen in de lijn: -3 =2*3+p, p = -9

Eerder genoemde antwoorden zijn weliswaar correct in de specifieke context, waarin een parabaool opgevat kan worden als de representatie van een functie in het platte vlak, maar dit geldt niet in zijn algemeenheid. Ten eerste moet er opgemerkt worden dat er voor iedere niet singuliere parabool een coordinatentransformatie bestaat waardoor de parabool opgevat kan worden als functie, maar deze methode is erg context afhankelijk en niet canoniek. Het probleem kan in grotere algemeenheid worden opgelost: Gegeven een parabool P (een kegelsnede ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 (vgl. 0) met h^2=ab). P is de locus van (x,y) die de eerder genoemde vergelijking oplossen. Zij nu een punt R=(X,Y) gegeven op P. De raaklijn L (px+qy+r=0) aan P door dit punt kan nu als volgt worden bepaald. Omdat R op L ligt moet pX+qY+r=0 (vgl. 1). Daarnaast moet L dezelfde "helling" hebben als P in R. Ofwel, grad(L)=grad(P) in R. Dit geeft twee vergelijkingen (een voor elke richting x, y): p=2aX+2hY+2g (vgl. 2) q=2hX+2bY+2f (vgl. 3) Dit geeft 3 vergelijkingen in 3 onbekenden (p, q, r), waarvan we p en q reeds weten. Tot slot is r = -pX-pY = -X(2aX+2hY+2g)-Y(2hX+2bY+2f) Kortom, L wordt gegeven door (2aX+2hY+2g)x+(2hX+2bY+2f)y = 2(X(aX+hY+g)+Y(hX+bY+f)). Dus, (aX+hY+g)(x-X)+(hX+bY+f)(y-Y) = 0 (vgl. 4) is de algemene vorm van een raaklijn aan een kegelsnede met h^2=ab (parabool). Een concreet probleem als geschetst in de vraag laat zich nu vertalen in het vinden van (X,Y), gegeven een punt (x,y) op de raaklijn. Vergelijkingen 0 en 4 vormen samen een stelsel van 2 vergelijkingen in twee onbekenden die je algebraisch kunt oplossen. Echter, het verhoogt de leesbaarheid niet als we dit hier in zijn algemeenheid uitschrijven, maar het is belangrijk om je te realiseren dat dit wel mogelijk is.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100