Wat is de meetkundige betekenis van de kwadratische vorm in een kritisch punt?

Ik vind het lastig te begrijpen wat je precies bedoeld, maar ik vermoed dat het volgende je vraag beantwoord.
Zij f:R^3->R de te extremeren functie over de enkele beperking (bol met straal r in R^3) g(x,y,z) = r^2 met g:R^3->R, g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2.
Merk op dat g een kwadratische vorm is.
Introduceer nu de Lagrangiaan L(x,y,z,l) = f(x,y,z)+l(g(x,y,z)-r^2). Door op te lossen wanneer grad(L)=0 vind je alle kritieke punten. De verzameling van gebonden extrema is nu een deelverzameling hiervan. (Laat de zadelpunten weg)
Dit heet de methode van multiplicatoren van Lagrange. Hierin is l de "multiplicator". Voor p in R^3 zegt grad(L)(p)=0 intuïtief dat
1. p op de bol ligt (g(p) = r^2)
2. p is een stationair punt (grad(f)(p) = l*grad(g)(p))
Omdat g (als bol in R^3) een kwadratische vorm is zal grad(g) lineair zijn in elke component (grad(g) = 2(x,y,z)). Hiermee kan eigenschap 2 opgevat worden als een vergelijking tussen grad(f) en een raakvlak aan g.
Uit de klassieke mechanica weten we dat multiplicatoren van Langrange gegeneraliseerd kunnen worden naar reële Banach ruimten, maar niet verder (zie link). Het is hierom dat ik niet verwacht dat je beoogde kwadratische vorm in een algebraische ruimte ligt.