Wat is de formule om Pi te benaderen via de manier van Naald van Buffon? En wat is de theorie erachter?

Question

http://www.frankdeboosere.be/getallen/pi2.php
Op deze site wordt Pi benadert doormiddel van naalden op een gestreept veld te gooien. Blijkbaar kan je met de naalden die een lijn raken, samen met het totaal aantal gegooide naaden, een benadering van Pi vinden. De vraag is hoe bereken je dit? En wat is de achterliggende theorie erachter?

 · Accepted Answer

De achterliggende theorie kun je op een papiertje uittekenen. Als je afstand tot de dichtsbijzijnde lijn waar het midden van de naald terechtkomt x noemt, dan kun je een hoek bepalen waar de punt van de naald precies tegen de lijn aankomt (Lengte van de naald = 2, Afstand tussen de lijnen ook 2). De hoek tussen de deze stand van de  naald en de loodlijn is de arccos(x). Als de cos(van de hoek) groter is dan arccos(x) dan heb je een treffer. De kans daarop is arccos(x)/(pi/2) (voor de werkelijke hoek is er geen voorkeur, dus het hangt af van de verhouding tot de grenshoek en de totale hoek (Pi/2), voor hoeken groter dan Pi/2 heb je de andere kant van de naald met dezelfde kansverhouding. Je moet dan een integraal uitrekenen van alle kansen tussen x= 0 en 1. Dat wordt dan 2/pi* integraal arccos(x) tussen 0 en 1 en dat is gelijk aan 2/pi.
De kans op een misser is dan 1/pi. Bij veel worpen is pi dan gelijk aan het aan het aantal worpen gedeeld door het aantal missers. (n/(n/pi))

 · Answer

Dat is toch simpel?
Je telt het aantal naalden die een lijn kruisen. (=a)
Je telt het totaal aantal naalden (=b)
a : b = pi.

Toegevoegd na 1 minuut:
Aangezien de naalden willekeurig vallen, zal een deel de lijnen kruisen, een ander deel niet.
Dit is uiteraard een benadering.

 · Answer

Pi ≈ 2 * (Totaal aantal naalden / Aantal lijn-kruisende naalden)

Het basis idee is simpel:
(voor de wiskundige afleiding zie de link)

Stel je hebt een raster waarbij de afstand tussen de lijnen precies de lengte van een naald is, hoe groot is dan de kans dat als je een naald op het raster laat vallen dat die naald een raster lijn kruist.

Je kan je voorstellen dat dat laatste afhangt van de plek waar het midden van de naald valt, en van de hoek die de naald met de rasterlijnen maakt. (ver van de lijn moet de hoek groter zijn om de lijn te kruizen, dan dicht bij de lijn). Hoeken (uitgedrukt in radialen) hebben alles te maken met het getal Pi, het zal je daarom niet verbazen dat in die kans het getal Pi voorkomt. Met een beetje wiskunde, kan je dat allemaal keurig afleiden.

Maar als je dit experiment vaak herhaalt,of met meerdere naalden tegelijk doet, dan kan je dezelfde kans ook “schatten” door te tellen hoeveel naalden een raster lijn kruisen en dat te delen door het totaal aantal naalden.

Stel je nu de theoretische kans gelijk aan de gevonden kans in het experiment, dan heb je daarmee een schatting voor Pi.

Wat is de formule om Pi te benaderen via de manier van Naald van Buffon? En wat is de theorie erachter?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (2)

Weet jij het beter..?