Als je iets van grote hoogte naar beneden zou gooien is wordt het dan zwaarder?

Nee, het gewicht blijft hetzelfde.

Het gewicht van je gegooide Euro neemt iets af. Namelijk de Eiffeltoren is iets verder van de aarde verwijderd als het aardoppervlak. Het verschil is miniem , maar toch.

De massa van de Euro blijft hetzelfde.

Overigens is het mogelijk dat de waarde van je Euro ( vergeleken met andere munten) is afgenomen wanneer hij het aardoppervlak heeft bereikt.

Toegevoegd na 48 minuten:
Foutje in de eerste zin. Het gewicht van je gegooide Euro neemt iets toe.

Gewicht is massa maal versnelling. De versnelling neemt toe met de hoogte. Dus de klap van de euro vanaf de eiffeltoren is harder dan wanneer je hem vanuit je hand op de grond laat vallen.
Dus het antwoord is ja.

Gedurende de val neemt het gewicht van je Euro toe. Dat heeft twee oorzaken.

De eerste oorzaak is dat de zwaartekracht ver van de aarde lager is dan dicht bij de aarde. Het gewicht wordt bepaald door de zwaartekracht. Bovenin de Eiffeltoren is je Euro daardoor net een tikkie lichter dan beneden. Gooi jij die Euro naar beneden, dan zal de munt gedurende de val dus zwaarder worden, doordat de zwaartekracht die op de munt werkt toeneemt.

De tweede oorzaak is de beroemde wet van Einstein: E = mc² . Die kun je om-schrijven naar m = E/c² . Hieruit volgt dat, hoe hoger E (de energie) wordt, hoe meer massa (m) de munt krijgt. Aangezien zware massa en trage massa gelijk zijn, neemt ook het gewicht van de Euro toe wanneer die een steeds hogere snelheid krijgt, en daardoor een steeds hogere (kinetische) energie.

Goed, dit was een lang verhaal. Ik kan het antwoord voor je samenvatten tot één woord:

Ja.

Toegevoegd na 33 seconden:
 
Maar het effect is zo minimaal, dat het in dit geval puur theoretisch is, en geen enkele praktische betekenis heeft.

Het gewicht en massa zijn 2 compleet verschillende dingen. De massa zal niet veranderen, maar het gewicht zal toenemen, de euro zal door de hoogte en de zwaartekracht steeds sneller vallen waardoor zijn gewicht zal toenemen.

Weet wel dat een klein takje vanaf heel hoog, als dat recht naar beneden valt en je staat er precies onder, dat dat takje dan dwars door je hele lichaam kan gaan, het komt dus wel heel hard aan

Gewicht blijft altijd gelijk. Alleen als je de zwaartekrachtsterkte veranderd dan verandert gewicht.
Als de euro sneller valt, neemt wel de kracht toe, want kracht is massa keer snelheid.

Om van alle problemen af te zijn; massa blijft altijd gelijk, alleen de zwaartekracht (lees: hoe hard de aarde aan de munt trekt) neemt af naarmate de munt verder van de aarde verwijderd is.
De massa blijft gelijk, het gewicht van de munt neemt toe.

Overigens niet te verwarren met kinetische energie. Dat heeft hier nu weet niets mee te maken.