Is een huurder verplicht om houtwerk te schilderen bij vochtproblemen?

De verhuurder is verantwoordelijk voor het onderhoud van het pand.
Er kan van deze regel worden afgeweken, maar dan zal dat expliciet in het huurcontract vermeld moeten zijn. In de regel is dan de huur daar op aangepast.

Het buitenschilderwerk is voor rekening van de eigenaar/verhuurder.
Het binnen-schilderwerk voor de huurder.

Het is een combinatie van factoren.
Het binnen schilderwerk is in principe voor de huurder, het buiten schilderwerk voor de verhuurder.

Maar in jouw geval schrijf jij: "Er is niet tegen het vocht op te poetsen."
Dat is een onderhoudsprobleem. En dat moet mogelijk eerst opgelost worden. En daar is de verhuurder dan weer verantwoordelijk voor.
Het is dan wel weer jouw verantwoordelijkheid om de verhuurder tijdig op de hoogte te stellen van onderhoudsproblemen, zodat de kosten niet onnodig hoog worden.

Zoals je ziet zijn er meerdere factoren. Grofweg kun je stellen dat de verhuurder verantwoordelijk is voor buiten en dat jij ongeveer elke 5 jaar binnen voor een likje verf mag zorgen. Is dat door vocht o.i.d. vaker nodig dan is de verhuurder weer eerst aan zet.