wat heeft pi met een perodieke functie te maken?

De enige functie die periodiek is, is de sinus (of cosinus, maar dat is hetzelfde).
Na een periode van 2pi herhaalt die zichzelf.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Sinus_en_cosinus
En alle periodieke functies (blokgolf, zaagtand, etc) zijn met sinussen op te bouwen.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Fouriertransformatie.

De basisperiodieke functies zijn sinus en cosinus.

Sinus, cosinus, worden op school vaak ingevoerd met driehoeken en lengteverhoudingen, en dat is prima. Maar er is een andere manier om er naar te kijken.

Stel je een éénheidscirkel voor. (Dit is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong O) Zie bv. dit plaatje:

http://math4allview.appspot.com/view?comp=vb-b7&subcomp=vb-b72&variant=m4a_view&repo=m4a2015&item=theory

Stel je nu voor dat je een punt hebt P, dat je over de cirkel laat draaien. Je begint in het punt (0,1), en je draait linksom, met een constante hoeksnelheid. Als je begint, valt de straal van O naar P samen met de x-as, een hoek van 0 graden (°) dus. Na een tijdje kom je bij het punt (0,1). Nu valt OP samen met de y-as en dus maakt OP een hoek van 90° met de x-as. Nog een tijdje later maakt OP een hoek van 180° (-1,0), dan 270° (0,-1), en uiteindelijk 360°.

Je bent nu 360° gedraaid (en terug op het beginpunt), maar je zou ook kunnen zeggen dat je een weg van "2* Pi" hebt afgelegd - dat is immers de lengte van de omtrek van een cirkel met straal 1. Net zo zou je kunnen zeggen dat als je een weg "Pi" hebt afgelegd, je een hoek van 180° gemaakt hebt, en als je een weg "Pi/2" hebt afgelegd, je een hoek van 90° hebt gemaakt.

Waar de keuze van de graden wat willekeurig is (bv. waarom is een rechte hoek 90° en geen 100° ?), is het rekenen met pi een hele "natuurlijke" manier die volgt uit zo'n eenheidscirkel. Daarom wordt hier vaak de voorkeur aan gegeven in de wiskunde. Deze hoekeenheid wordt ook wel 'radiaal' genoemd.

Nu je vraag wat dit met een periodieke functie te maken heeft.

Stel dat jouw punt P op een gegeven moment een hoek van α met de x-as maakt. De coördinaten van je punt P worden dan gegeven door de formule P = (cos α, sin α) . Dit kan je zien door gewoon een (rechthoekige) driehoek OPP' te tekenen, waarbij P' de projectie van P op de x-as is (niet aangegeven in het tekeningetje maar het is waar de rode lijn de x-as snijdt). Nu is cos α = OP' /OP = OP' want OP =1. En OP' is de x-coordinaat van P want het is een loodrechte projectie. Net zo is sin α = PP'/OP = PP' , en dat is de y-coördinaat van P.

Een andere manier om dit te zien is te zeggen dat de sinus de projectie van de y- coordinaat en de cosinus de projectie van de x-coordinaat is. Zie bv. deze animatie.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif