Is het mogelijk om een breuk waarbij zowel in de teller als in de noemer de cosinus van een lineaire vergelijking staat op te lossen?

 Het is mogelijk, maar ietwat vervelend qua rekenwerk. Ik ga er hier gezien de vorm van de formule vanuit dat we in graden rekenen overigens (niet in radialen).
Voordat ik begin noem ik even -zonder bewijs-  twee trigonometrische relaties die ik ga gebruiken. 

(zie ook
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities )

(somformule cosinus):

(i): cos (x-y) = cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y) 

(formule voor lineaire combinaties sinus en cosinus):

(ii) A sin(x)+ B cos(x) = √(A^2+B^2) sin(x+arctan(B/A))
————————————————————————————

Ok, we beginnen.  Algemeen idee: we willen eerst de vergelijkingen zo herschrijven dat we geen cosinussen (of sinussen) met van elkaar verschillende argumenten hebben (zoals nu het geval is met die 60-x en x-35). Daarvoor gebruiken we dus (1).

Daarna gaan we proberen alles onder één "sinus" te krijgen mbv (ii), zodat we de resterende vergelijking van de vorm C * sin (ax+b) wordt, want die kunnen we oplossen.

Gegeven de opgave

cos (60-x)= 6/7 * cos(x-35)

stap 1:
Eerst vullen we een nieuwe variabele in, om in ieder geval één van beide kanten simpeler te krijgen. Bijvoorbeeld

u= 60-x

Dat levert op

cos (u) = 6/7 * cos (25-u)

Stap 2:
Gebruik nu (i) voor de rechterzijde. Dus:

cos(u)=6/7 * (cos(u)* cos(25) + sin(u)*sin(25))

ofwel

6/7 * sin(25)* sin(u) + (6/7*cos(25)-1) cos(u) = 0

Stap 3:
Gebruik nu (ii) voor de linkerzijde.  Aangezien de rechterzijde toch 0 is, hoeven we de factor "√(A^2+B^2) " niet uit te werken want de volgende stap zou zijn dat we die meteen weer wegdelen.
Dus:

"√(A^2+B^2) "* (sin(u + arctan((6/7*cos(25)-1) /(6/7*sin(25))) = 0

En vanaf hier is het eigenlijk alleen maar vereenvoudigen en oplossen.

(Deel factor "√(A^2+B^2) " weg):

sin(u + arctan((6/7*cos(25)-1) / (6/7*sin(25))) = 0

ofwel (vermenig teller en noemer in de breuk in de arctan met 7)

sin(u + arctan((6*cos(25)-7) / (6*sin(25))) = 0

ofwel ( omdat "sin(z)=0" als oplossing heeft "z =0 mod 180")

u = - arctan((6*cos(25)-7) / (6*sin(25))) = (ongeveer) 31.6356 (mod 180)

Terug invullend in de oorspronkelijke variabele levert dat op

x= 60 - u = 60 + arctan((6*cos(25)-7) / (6*sin(25)))  (mod 180)

en dit is ongeveer 28.364 (mod 180)

Vul je deze waarde voor x in in de oorspronkelijke vergelijking
cos (60-x)= 6/7 * cos(x-35), dan komt het uit.