Wat zijn de oplossingen van x²+bx = c?

Ik kwam een keer een tekst over de Babyloniërs tegen waarin een elegante versie van de kwardratische formule staat: x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) en x = √[(b/2)2 + c] + (b/2) .

Mijn vraag is:

Hoe kan ik van de abc-formule uit x²+bx=c afleiden dat de oplossingen van x²+bx=c, x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) en x = √[(b/2)2 + c] + (b/2) zijn?


Alvast bedankt.

Weet jij het antwoord?

/2500

De uitdrukking waarmee je start om de ABC-formule af te leiden (ax²+bx+c=0) verschilt in twee opzichten van de vergelijking waarmee hier begonnen wordt (x²+bx=c). Namelijk ten eerste, dat a=1, en ten tweede dat hier eigenlijk gewerkt wordt met (x²+bx - c =0 ), dus het teken van de c is omgeklapt. Vullen wij daarom in a=1 en vervangen we c door -c in de abc-formule, dan zouden we (na verdere omschrijvingen) jouw uitdrukkingen moeten krijgen. ABC-formule: (ik schrijf '+/-' voor het gemak, waarmee ik bedoel: "plus of min") x= (-b +/- √ [b² - 4ac] ) / 2a Invullen a=1 : x= (-b +/- √ [b² - 4c] ) / 2 Vervangen c door -c : x= (-b +/- √ [b² + 4c] ) / 2 Vereenvoudigen: x= -b/2 +/- √ [b² + 4c] / 2 x= +/- √ [b² + 4c]/ 2 - b/2 x= +/- √ [b²/4 + c] - b/2 ( ‘gedeeld door 2 "in de wortel trekken", wordt onder het wortelteken "gedeeld door 4") x= +/- √ [(b/2)² + c] - b/2 (trekken we het ‘gedeeld door 4’ nu weer in in de kwadraatterm onder de wortel, dan wordt het daar weer "gedeeld door 2") Ik kom dus _bijna_, maar niet precies op hetzelfde uit als jij, namelijk x= √ [(b/2)² + c] - b/2 OF x= - √ [(b/2)² + c] - b/2 En het lijkt me ook waarschijnlijk dat het dit moet zijn, omdat ook in de standaard ABC-formule de +/- voor de wortelvorm staat, niet voor de term "b/2" Toegevoegd na 2 uur: Aanvulling: Intussen thuis, even gegoogled, en zie dat de Babyloniers inderdaad met de door jou genoemde twee oplossingen aankwamen, maar wel voor 2 verschillende vergelijkingen: "To solve a quadratic equation the Babylonians essentially used the standard formula. They considered two types of quadratic equation, namely x2 + bx = c and x2 - bx = c where here b, c were positive but not necessarily integers. The form that their solutions took was, respectively x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) and x = √[(b/2)2 + c] + (b/2)" Overigens zou je die laatste ook kunnen afleiden door met de abc-formule te beginnen, en naast de eerder gegeven subsitituties ook nog b=-b in te vullen (om de oplossing voor de vergelijking x2 - bx -c=0 te vinden). (Natuurlijk wel zorgvuldig werken.) Daarnaast dus de opmerking dat de Babyloniërs voor beide typen vergelijking blijkbaar maar één oplossing gaven (in plaats van twee).

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100