Hoe kan deze som kloppen?

0,99999999.... is exact gelijk aan 1. Je kunt dit wiskundig beschrijven met (wiskundige) limieten. Je kunt het ook bewijzen met de som die je in je vraag beschrijft.

Een andere manier om het te bewijzen is te constateren dat 1/9 gelijk is aan 0,111111111..... Als je 0,111111111... met 9 vermenigvuldigt krijg je 0,9999999...... Maar als je 0,11111111.... met 9 vermenigvuldigt doe je eigenlijk 1/9 maal 9, en dat is 1. Ook op die manier zie je dat 0,99999999..... exact hetzelfde is als 1.

De door jou beschreven som klopt dus gewoon. Er is niets bijzonders aan.
 

Toegevoegd na 1 minuut:
 
Het enige opvallende is dat wij er intuïtief wat moeite mee hebben. Dat geeft echter slechts aan dat onze intuïtie niet goed kan omgaan met oneindigheid en met de bijbehorende wiskunde.