Hoe los ik de vergelijking: 1,5^X = (log(X))/(log(0,5)) op zonder rekenmachine?

Question

ik wil dus weten hoe je deze vergelijking exact oplost

kierkegaard47 · Answer

Er zijn een heleboel vergelijkingen die je helemaal niet exact kunt oplossen, en ik denk dat dit er eentje van is. Zeker weten doe ik het niet.

Waarom ik dat denk ? Ten eerste omdat ik het zelf een uurtje heb geprobeerd toen ik toch in de trein zat, en ik kwam er niet uit. Het is ook niet een type vergelijking waarvan ik denk: goh daar heb ik wel eens eerder een oplosmethode voor gezien, dat kan ik ergens terugzoeken. Dat alles zegt op zich nog niet zoveel :)

Ten tweede, omdat ik, toen ik thuis kwam, even besloot 'vals te spelen' en deze vergelijking aan Maple opgaf (een computerprogramma voor wiskundigen dat gespecialiseerd is in het analytisch (exact) oplossen van allerlei wiskundige vergelijkingen).

Daar kwam het volgende uit:

solve(1.5^x = log(x)/log(.5), x)
0.4371159834

Nu geeft dit programma alleen maar een getalletje terug, als ie niet een oplossing kan vinden die ie exact kan uitdrukken (zoals bv "log(wortel(3))".

Met andere woorden, Maple kan het ook niet exact oplossen -, en kan alleen maar met een numerieke benadering (een getalletje) terugkomen.

Daarmee wordt de kans een stuk kleiner dat ik zelf wel een analytische oplossing zou kunnen vinden. Niet omdat een computer beter in wiskunde zou zijn, of slimmer. Maar wel omdat er in de loop van de eeuwen honderden "trucjes" bedacht zijn voor het oplossen van bepaalde typen lastige vergelijkingen, die ik lang niet allemaal ken (en zelfs vaak nog nooit gezien heb omdat je ze toch bijna nooit nodig hebt), maar die wel allemaal ingeprogrammeerd zijn in de achtergrondbibliotheek van dat programma.

Ik denk daarom, dat de enige manier om hiervoor een oplossing te vinden is, om gebruik te maken van een numerieke benaderingsmethode. Die geeft je geen exacte oplossing, maar wel een oplossing die nauwkeuriger wordt naarmate je langer doorrekent.

Het bekendste voorbeeld van zo'n methode is de klassieke methode van Newton- Raphson (zie bv. http://nl.wikipedia.org/wiki/Methode_van_Newton-Raphson om een idee te krijgen).

Toegevoegd na 6 minuten:
Dat is dus bepaald geen methode die je zonder rekenmachine kunt toepassen :)

 · Answer

Zo ver ben ik geraakt. Nu ga je aanvoelen dat het je uit het hoofd nooit gaat lukken. Zodra je die wortel 3 bekomt.Ik hoop dat je het kunt lezen. Ik heb mijn antwoord in de reactie gezet.3^x/2= 0,5 log(x)

Toegevoegd na 2 minuten:
Hopenlijk zijn deze keer de berekeningen wel geüpload.

Toegevoegd na 2 minuten:
Hopenlijk zijn deze keer de berekeningen wel geüpload.

 · Answer

Deze formule kan vereenvoudigen tot een zekere hoogte.

(3/2)^x = log x / log (1/2)
formule: a = b/c <> b = ac
log x = (3/2)^x * log (1/2)
log x * (2/3)^x = (3/2)^x * log (1/2) * (2/3)^x
log x * (2^x/3^x) = log (1/2)
log (x^(2^x/3^x) = log (1/2)
formule: log(f(x)) = log(g(x)) <> f(x) = g(x)
x^(2^x/3^x) = 1/2

Nu ben ik klaar met het vereenvoudigen.
Maar voor de oplossing:

x^(2^x/3^x) = 1/2
x = 1/2^(3^x/2^x)

Hier kan ik niet verder uit de hoofd rekenen, want deze x herhaalt zichzelf waardoor het moeilijk wordt. Het antwoord uit de grafiek

x ≈ 0,43711598...

Hoe los ik de vergelijking: 1,5^X = (log(X))/(log(0,5)) op zonder rekenmachine?

Antwoorden (3)

Weet jij het beter..?