Wat is precies een logaritme en hoe bereken je dit handmatig?

Een logaritme van een getal met een bepaald grondgetal is het getal waarmee je het grondgetal moet verheffen om het getal achter de log te bekomen.
Met woorden uitleggen is niet zo eenvoudig, enkele voorbeelden maken het misschien duidelijker:
2log8=3 want 2^3=8 (2 tot de derde macht is 8)
10log100=2 (of gewoon log100=2) want 10^2=100
elog(e^4)=4 want e^4=e^4
Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden...

Een logaritme is in zekere zin het ‘omgekeerde’ van machtsverheffen.

Stel dat je de berekening hebt: 10^3 =1000. Deze berekening kan je op 2 manieren ‘omkeren’:

a) je kunt je afvragen: "welk getal moest ik tot de derde macht doen om 1000 te krijgen?". Om dit op te lossen trek je de derdemachtswortel uit 1000 , om 10 terug te krijgen. Deze manier zal je waarschijnlijk al kennen.

b) Maar je zou je ook kunnen afvragen: goh, 10 tot de macht hoeveel moest ik doen om 1000 te krijgen ? Het antwoord daarop is natuurlijk: 3 ( want 10^3= 1000). En dit is wat je met een logaritme berekent.

We schrijven dan : ‘log_10 (1000) = 3’ en we zeggen: ‘de logaritme met grondtal 10 van 1000 = 3’ . Vaak trouwens wordt dat ‘met grondtal 10’ weggelaten, als er geen verwarring kan ontstaan. Er is naast de log_10 nog één andere ‘standaardlogaritme’ maar als je nog nooit eerder met logaritmen te maken hebt gehad zal je die niet meteen tegenkomen, vermoed ik.

Algemener : als je x ^ y = a hebt, dan geldt dat log_x (a) = y.

Dus bijvoorbeeld:

2 ^3 = 8 , dus is log_2 (8) = 3
2^4 = 16, dus is log_2(16) = 4.

4^2 = 16, dus is log_4(16) = 2.

10^5 = 100000, dus is log_10(100000) = log (100000) = 5 (ik laat de 10 weg omdat het hier om de ‘standaard’ log gaat).

Maar wat is nu bv. log(12) ? Je vraagt hier dus eigenlijk naar ‘x, zó dat 10^x =12’. De wiskunde die je nodig hebt om dit zonder rekenmachine op te lossen is van universitair niveau en daarom verwacht ik (zonder verdere informatie) niet dat dit van je gevraagd wordt.

Ook bestaan er allerlei rekenregels voor logaritmen, die je kunt gebruiken.

Als voorbeeld noem ik :

log(a) + log(b) = log(a*b) . Dit komt omdat (10 ^a * 10^b = 10 ^(a+b) ).

Bijvoorbeeld: log(100) + log(1000) = 2+3=5=log(100* 1000).

log (a^b) = b* log a.
Bijvoorbeeld:

log (100 ^ 3) = 3 * log (100) = 6.

Net zo: log (1/a) =-log(a).

Bijvoorbeeld: log (1/10) = -1, omdat 10^ -1 = 1/10.

Ook log_x (1) =altijd 0, ongeacht het grondtal, omdat x^0 =1 voor alle x (behalve x=0).

Net zo is log_x (x) =1 , omdat x^1 =x.


Zie voor meer van dit soort regels en uitleg http://nl.wikipedia.org/wiki/Logaritme#Rekenen_met_logaritmes en
bijvoorbeeld http://www.dr-aart.nl/Logaritmen-regels.html /

Helaas kan ik er niet dieper op ingaan wegens de beperkte ruimte die ik heb voor mijn antwoord. Maar ik hoop dat dit verhaal je toch iets op weg heeft geholpen.