Mogen we rekenen met differentiaaloperatoren alsof het gewone getallen zijn?

Een klein illustratief voorbeeldje:
stel we willen de laplaciaan van (a+b) met a en b afhankelijk van x en y berekenen. Dan krijgen we (Dx^2+Dy^2)(a+b). De oplossing hiervan is de laplaciaan van a + de laplaciaan van b want de laplaciaan is een lineare differentiaaloperator. Dat doet dus vermoeden dat we doen alsof we de differentiaaloperatoren even bekijken als getallen en het product distributief uitwerken. Ik doe het ook altijd op deze manier maar er is mij nooit ergens verteld of dat wel mag.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Sorry, lang antwoord in meerdere delen: Het is verstandig bij dergelijke 'verkorte' notaties om niet uit het oog te verliezen wat je nu eigenlijk zit te doen, en desnoods even dingen weer helemaal uit te schrijven. Bij een Laplaciaan gaat het om het toepassen van een differentiaaloperator-- ik neem aan dat je met D^2x (a+b) de 2e partiële afgeleide van (a+b) naar x bedoelt. Een differentiaaloperator is uiteindelijk een _symbolische_ en verkorte weergave van een samengestelde bewerking bestaande uit een aantal differentialen (totale of partiële). En een differentiaal is uiteindelijk niets meer dan een limiet, wat wel eens uit het oog verloren wordt door de verkorte schrijfwijze. De algemene regel die ik daarom zou willen geven is: -- Blijven de manipulaties BUITEN de differentialen (laten de differentialen zelf intact), dan kan je ze ongeveer zo behandelen alsof het variabelen zijn. -- komen de manipulaties ook BINNEN de differentialen (dus waarop de diffentiaal zelf operereert), dan gaan de bijzondere eigenschappen ervan meespelen. Grofweg komen die neer op de eigenschappen zoals je die al hebt leren kennen in de meer elementaire differentiaalrekening: d(a+b)=da+db, d(cx) voor c een constante = c dx, d(f(x))= f'(x) dx (kettingregel) voor f een functie van x. Deze moet je regelmatig gebruiken, bv. als je een coordinatentransformatie toepast. d (fg) = f'dg + g'df (productregel) als f en g beide functies van x zijn. -enz. Bij de laatste 2 bedoel ik met f' g' in het geval van een 'gewone' differentiaal d de 'volledige' afgeleide, en in het geval van een 'partiele' differentiaal d de partiele afgeleide naar de variabele waarnaar d een differentiaal is (ik kan het uitschrijven maar je snapt hopelijk wel wat ik bedoel). Dus bijvoorbeeld met ( D^2 / D^2x + D^2 / D^2y ) (a + b) = D^2 / D^2x (a) + D^2 / D^2x (b) + (D^2 / D^2y) (a) + (D^2 / D^2y) (b) is niets mis, omdat je BUITEN de differentialen blijft, als het ware. Als je dit uitschrijft, zie je ook dat het in beide gevallen op hetzelfde neerkomt. Maar iets als 'dx'= x* d , of D^2 / D^2x = 1/x 'want we kunnen de d^2 wegstrepen' zou onzin zijn, zoals in een ander antwoord al aangegeven wordt. Dit omdat dx niet d* x betekent, maar een verkorte schrijfwijze is van een limiet (in feite is d zonder argument betekenisloos). (wordt vervolgd in reactie).

In elk geval niet als gewone getallen. Je mag bijvoorbeeld Dx niet vervangen door xD D blijft een operator die werkt op wat er achter staat.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100