Hoe moet ik de gradus suavitatis van een toon of akkoord berekenen?

In de bron staat de wiskundige uitleg, maar die gaat mij boven de pet. Ik weet hoe het zit met verhoudingen tussen intervallen en frequencies.

Bron:
http://www.mathematik.com/Piano/index.html

Weet jij het antwoord?

/2500

Dat is een lastig verhaal zeg! Ik heb de bron gelezen en ik denk dat ik het nu snap. Ook denk ik dat er enkele onnauwkeurigheden in dit artikel staan. In de eerste plaats leid ik uit het artikel af dat ze een "kleine decime" identificeren met de verhouding 12/5. Nu is een kleine decime gelijk aan een octaaf plus een kleine terts, dus 15 stappen op de 12-toons toonladder. We berekenen 2 tot de macht 15/12 en vinden 2,378414. 12/5 is gelijk aan 2,4. Dus is de kleine decime inderdaad een goede, maar niet perfecte benadering van deze verhouding. De Gradus Suavitatis zou nu als ik het goed begrijp een maat zijn voor hoe goed de rationale verhouding 12/5 klopt met het interval uit de 12-toons toonladder. In het voorbeeld dus hoe goed komt 2,378414 overeen met de "harmonische" verhouding 2,4? Euler schijnt daar dus een formule voor te hebben gevonden. Waarom die formule aangeeft wat de mate van overeenkomst is, kan ik (nog) niet uitleggen (maar dat is de vraag ook niet). Maar wel hoe de formule werkt. Eerst moet je het kleinste gemene veelvoud (kgv, of engels lcm) van de verhoudingsgetallen nemen, en dit getal ontbinden in priemfactoren. [Een uitleg van kgv, resp. priemfactoren, kun je zo nodig gemakkelijk op internet vinden]. Er staat nu bij het voorbeeld in de bron: 60=2²+3+5, maar dat moet zijn 60=2²*3*5. Of, wat op hetzelfde neerkomt, 60=2*2*3*5. Die laatste notatie vind ik handiger, want dan hoeven we geen gebruik te maken van de "multipliciteit" van de factoren. Dus we hebben het kgv ontbonden in priemfactoren. Van iedere priemfactor gaan we nu 1 aftrekken. Vervolgens gaan we al die uitkomsten optellen, en daar tellen we nog 1 bij op. Dus in het voorbeeld: de ontbinding was 2*2*3*5. Van alle factoren 1 aftrekken levert 1, 1, 2, 4. Deze getallen optellen en nog 1 erbij geeft 1+1+2+4+1 = 9. Welnu, ik heb het iets anders geformuleerd dan in de bron maar volgens mij is het resultaat hetzelfde, en kunnen we zo op een eenvoudigere manier de G.S. berekenen. Of de bron ook klopt met de bedoeling van Euler, dat kan ik niet beoordelen.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100