Wat is de rotatiegroep van een balk(zijvlakken)? En hoe zit het met de andere ruimtefiguren?

bvb. de rotatiegroep van een kubus(zijvlakken) is S4 met 24 verschillende elementen(rotaties). Die van een tetraëder blijkt A4 te zijn, maar hoe kom je eraan? En hoe zit het met een icosaëder?

Weet jij het antwoord?

/2500

Voor de regelmatige veelvlakken is er voldoende documentatie beschikbaar over de efficiënte bepaling van de symmetriegroep. Hiervoor verwijs ik je graag door naar de eerste link. Merk op dat polyhedra dezelfde symmetriegroepen hebben als hun duale. De tetraëder is zelf-duaal, de kubus en de octaëder zijn duaal evenals de dodecaëder en de icosaëder. In het eenvoudige geval van 3D ruimtelijke figuren kan het probleem ook algemener worden aangepakt, maar duurt meestal wat langer in de uitwerking: Gegeven een deelverzameling S van R^3 waarvan we de rotatiesymmetriegroep G willen bepalen. De maximale rotatiesymmetriegroep in R^3 is die van de bol S^2, ook wel bekend als SO(3,R). Deze laat zich ten opzichte van een gegeven basis van R^3 beschrijven als de verzameling van alle 3x3 orthogonaal matrices met determinant 1 en matrixvermenigvuldiging als de groepsoperatie. Voor meer informatie over deze groep verwijs ik je graag naar de tweede link. Op grond hiervan weten we dat er een groepsmonomorfisme G->SO(3,R) bestaat. In het bijzonder kunnen we hiermee over G nadenken als een matrix(sub)groep van SO(3,R). Merk op dat alle eindige ondergroepen van SO(3,R) geclassificeerd zijn (zie derde link). om nu G te bepalen is het voldoende om de verschillende generatoren voor deze subgroepen uit te proberen op S. Ofwel, gegeven een element g van een van deze subgroepen, check of S in zichzelf wordt overgevoerd door g (g(S)=S) Door trial and error kun je nu een groot deel van G boven water krijgen. Indien G een element van oneindige orde heeft, (bijvoorbeeld G = de rotatiesymmetriegroep van een cilinder) dan is het meestal voldoende om een product met SO(2,R) te proberen (de rotatiesymmetriegroep van de cirkel; SO(2,R) is isomorf met R/Z is isomorf met U(1)). Zo zien we bijvoorbeeld dat de rotatiesymmetriegroep van de cilinder gelijk is aan SO(2,R)x(Z/2Z). Wanneer je dit voldoende hebt begrepen zal het je opvallen dat eigenlijk iedere eindige groep opgevat kan worden als matrixgroep. Dit is het idee achter representatietheorie voor eindige groepen. Indien je dit interessant vind kan ik je aanraden eens een kijkje te nemen op de vierde link.

Bronnen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Representatio...
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_grou...
http://groupprops.subwiki.org/wiki/Classif...
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~john/...

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100