Wat is de formule om een parabool breder of smaller te maken? En hoe verplaats je de top naar links of naar rechts?

Neem de parabool y=x^2
Die wordt smaller als je voor de y een getal groter dan 1 zet. B.v. 2y=x^2. En breder door een getal kleiner dan 1.
Verplaatsen doe je door x te vervangen door (x-a), waardoor de parabool a naar rechts gaat.
B.v. voor a=2: y=(x-2)^2

Om te zorgen dat een parabool breder wordt, moet je de a (het getal dat voor de x² staat), kleiner maken. Neem nou eens de vergelijking y = x². Als je deze vervangt voor y = 0.5x², dan wordt hij breder. Dat is erg logisch, want als je een x kiest, zou er bij y = 0.5x² een kleinere y uitkomen dan bij y = x². Daardoor wordt hij dus breder. Omgekeerd werkt het ook gewoon. Dus als je een smallere parabool wilt, moet je de a groter maken.

Om de top naar links te verplaatsen, haal je de a buiten haakjes en zet je de x binnen de haakjes. Achter de x geef je aan hoeveel je hem wilt verplaatsen. Wil je hem 3 naar links verplaatsen, dan vul je 3 in. Wil je hem 6 naar rechts verplaatsen, dan vul je -6 in. Hier een voorbeeldje:
Je wilt de vergelijking 'y = 6x²-3' 5 naar links verplaatsen. Je krijgt: y = 6(x+5)²-3.

Nu is er echter nog iets anders bij het verplaatsen van de top. Als je de formule y = x²+4x+2 hebt, moet je eerst kwadraatafsplitsen. Je krijgt:
y = (x+2)²-4+2
y = (x+2)²-2.
Als je dat hebt gedaan kan je hem gewoon weer verplaatsen op de normale manier.

De vorige stappen kunnen ook nog gecombineerd worden. Kijk maar:
y = 4x²+8x-11
y = 4(x²+2x)-11
y = 4((x+1)²-1)-11
y = 4(x+1)²-4-11
y = 4(x+1)²-15

Wanneer we een parabool opvatten als de grafiek van een functie p(x) = ax^2+bx+c, dan is je vraag eenvoudig te beantwoorden.
Van iedere functie f:R->R kun je de volgende operaties op de grafiek uitvoeren:
- Horizontaal verschuiven over een afstand a: Beschouw de grafiek van g(x) = f(x+a)
- Verticaal verschuiven over een afstand a: Beschouw de grafiek van g(x) = f(x)+a
- Horizontaal schalen met een factor a: Beschouw de grafiek van g(x) = f(a*x)
- Verticaal schalen met een factor a: Beschouw de grafiek van g(x) = a*f(x)
Je ziet dat de horizontale transformatie zich afspelen als manipulaties van het domein van f; tussen de haakjes van f en dat de verticale transformaties zich afspelen als manipulatie van het codomein van f; buiten de haakje van f.
Het kan heel leerzaam zijn om hiermee te spelen voor verschillende functies f en verschillende waarden van a om te zien dat dit klopt en hier enige intuïtie voor te ontwikkelen. Wanneer je genoeg hebt van de grafische rekenmachine kun je functie ook invullen op Wolfram Alpha om direct een plotje te zien, zie link.

Wanneer we echter niet aannemen dat je parabool de grafiek van een functie is, dan ligt de zaak iets genuanceerder. Uitgaande van de algemene vergelijking van een kegelsnede in het (x,y)-vlak: Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 en gebruikmakend van het feit dat voor een parabool de discriminant verdwijnt (B^2=4AC), krijgen we (ax+by)^2+cx+dy+e=0. De parabool P=P(a,b,c,d) is nu de verzameling van punten (x,y) die de voorgaande vergelijking oplossen.
We kunnen ons nu afvragen welke transformaties van het vlak, parabolen in parabolen overvoeren. We zullen ons voor het gemak beperken tot inverteerbare lineaire transformaties. We zoeken dus naar T:R^2->R^2, zodat T(P)=P' met P' weer een parabool.
Laat x=qx'+ry' en y=sx'+ty' de inverse van T ten opzichte van de basis (x', y') representeren, zodat [a(qx'+ry')+b(sx'+ty')]^2+c(qx'+ry')+d(sx'+ty')+e=0. De restrictie B^2=4AC, laat zich nu op P' vertalen tot a^2b^2(qt+rs)=AC met
A = a^2q^2 + b^2s^2 + 2abqs en C = a^2r^2 + b^2t^2 + 2abrt. Deze klasse van transformaties is uitermate interessant, omdat ze een 3-dimensionale Lie-subgroep vormen van de 4-dimensionale Lie groep GL(2,R).