Hoe werkt het oplossen van vergelijkingen met i?

Bijvoorbeeld:

(x-3)² + x = 0
x²-6x+9+x=0
x²-5x+9=0
x²-5x+6.25-6.25+9=0
(x-2.5)² -6.25+9=0
(x-2.5)²=-2.25

en dan komt de i....?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Met de abc formule. x²-5x+9=0 x = +5 +/- V(25-36) V=wortel x = +5 +/- V(-11) x = +5 +/- V(11*i^2) x = 5 + iV(11) of x = 5 - iV(11) Toegevoegd na 40 minuten: ik vergat door 2 te delen.

i^2 is -1 zoals je waarschijnlijk wel weet. dus (1.5i)^2 = -2,25 dus (x-2.5)^2=(1.5i)^2 wortel nemen geeft: x-2.5=1.5i dus 1.5i+2.5=x als je vragen hebt stel ze maar.

Om een iets algemener antwoord op je vraag te geven verdient het opmerking dat ieder complex getal geschreven kan worden in de vorm a+b*i (Cartesisch) en r*e^(phi*i) (polair). Voor de wisseling tussen beide representaties gebruik je de formule van Euler: e^(phi*i) = cos(phi) + i*sin(phi). Het door jouw geschetste voorbeeld is een tweedegraads polynoom. De uitbreiding van de reële getallen tot de complexe is gemotiveerd door de discrepantie tussen de graad van een polynoom en zijn aantal nulpunten. In de complexe getallen is het zo dat ieder polynoom van graad n, ook n complexe nulpunten heeft (multipliciteiten meegerekend). Het vinden van deze nulpunten is tot graad 5 algebraïsch te doen: - graad 2: abc-formule (Antwoord van Reddie) - graad 3: formule van Cardano - graad 4: formule van Ferrari Ofschoon het voor hogere graad niet gegarandeerd is dat je de nulpunten uit kunt schrijven is het wel gegarandeerd dat ze bestaan in de complexe getallen. Voor niet-polynomiale vergelijkingen kan de situatie heel anders liggen en is dikwijls een stukje inventiviteit vereist. Zo kan het soms noodzakelijk zijn om over te schakelen naar poolcoordinaten. Hoe breng je bijvoorbeeld i^i in de vorm a+b*i? Merk hiervoor op dat i = e^(pi*i/2), zodat i^i = [e^(pi*i/2)]^i = e^[pi*i/2*i] = e^(-pi/2).

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100