Hoe word een cirkel vervormt die loodrecht op een hoek van een kubus staat?

Neem een kubus, steek een cilinder door de hoek en steek hem diagonaal dwars door de kubus, recht naar de andere kant. De cilinder loopt dus van (bv) links onder naar rechts boven, waarbij de cilinder door het centrum van de kubus gaat en de middellijn van de cilinder precies gelijk valt met de hoek van de kubus
Als je deze kubus zou uitvouwen als een bouwplaat, dan zal het gat van de cilinder niet even rond en groot zijn als de diameter van de cilinder, maar meer een soort (als ik me goed verbeeld) 3 delig klaverblad.

Hoe is te berekenen welke precieze vorm dit gat zal aannemen en hoe groot dit moet zijn? Is hier een formule voor?

Graag simpel uitleggen; ik ben een beetje een wiskunde leek ;)

Weet jij het antwoord?

/2500

We kunnen de hoek van een kubus netjes in de oorsprong van een 3D assenstelsel neerleggen. Op deze manier ligt één hoekpunt in de oorsprong en 3 aangrenzende hoekpunten liggen op (l,0,0), (0,l,0) en (0,0,l) langs de assen.Je steekt nu een cilinder met straal r door het hoekpunt heen, zodat de hoofdas samenvalt met de diagonaal van de kubus. Gezien langs de hoofdas, heeft de cilinder nu een cirkelvormige afdruk om het hoekpunt achter gelaten. Waar we nu naar op zoek zijn is hoe deze afdruk er uitziet, bezien langs ieder vlak van de kubus. Ofwel, bezien langs ieder van de assen van het assenstelsel (x,y,z).We willen nu transformeren van het coördinatenstelsel van de cilinder (X,Y,Z), naar het coördinatenstelsel van de kubushoek (x,y,z). De cirkel in (X,Y,Z) wordt bijvoorbeeld gegeven door X^2+Y^2=r^2, zodat de Z-richting samenvalt met de hoofdas van de cilinder. Om precies te zijn kunnen we X, Y en Z nog steeds op veel manieren uitdrukken in x, y en z, maar laten we voor het gemak een orthonormaal stelsel kiezen: X = (x-y)/wortel(2), Y = (x+y-2z)/wortel(6), Z = (x+y+z)/wortel(3) De cirkel in (X,Y,Z) is nu de projectie van het "drielobbige klaverblad" op de kubusvlakken naar het (X,Y)-vlak. Laten we de lob in het (x,y)-vlak bekijken. Voor ieder punt in het (x,y)-vlak geldt dat z=0. Laat (X,Y,Z)=(p,q,0) een punt op de cirkel zijn. We willen nu Z weten, zodat (p,q,Z) in het (x,y)-vlak ligt: Z = (x+y+z)/wortel(3) = (x+y)/wortel(3) en Y = (x+y-2z)/wortel(6) = (x+y)/wortel(6), zodat x+y = Y*wortel(6) en dus Z = Y*wortel(6)/wortel(3) = Y*wortel(2) = q*wortel(2) Ofwel, (X,Y,Z) = (p,q,q*wortel(2)) ligt in het (x,y)-vlak. Combineren met p^2+q^2 = r^2 geeft een stuksgewijs gladde parametrisatie van de lob. Stel bijvoorbeeld -r

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100