Waarom heeft een omwentelingslichaam meestal niet-intrinsieke singuliere punten daar waar het lichaam de rotatie-as snijdt?

Singulier punt = een punt van het oppervlak van een omwentelingslichaam waarin het raakvlak niet gedefinieerd is.
Met niet-intrinsiek bedoel ik singuliere punten van de parametervergelijking. Dus bv: volgens de parametervergelijking bestaat het raakvlak niet in een punt, dan is dat een niet-intrinsiek punt als er meetkundig wel een raakvlak bestaat in dat punt.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Gegeven f:I->R voldoende vaak differentieerbaar met I een interval in R, dan wordt het omwentelingslichaam van de grafiek van f om de as waar I in ligt gevormd door de verzameling V van punten (r,x,h)=(straal, hoogte langs I, hoek) = (f(x), x, a) met x in I en a in [0,2*pi[ in cilindrische coordinaten. V ligt op deze manier ingebed in R^3. Wanneer f een singulier punt x heeft, dan heeft V een cirkel C van punten (f(x), x, a) met a alle hoeken. Deze punten zijn singulier als we ieder punt op C opvatten als punt van een kopie van de grafiek van f. Echter, daar V een varieteit is wordt de singulariteit van V in een punt x bepaald door de regulariteit van de gradient van V in x. Merk op dat grad = (d/dr, d/dx, 1/r d/dh) in cilindrische coordinaten. Stel nu dat f(x)=0 een singulier punt is van f, dan kan, afhankelijk van het gedrag van f, de gradient niet-singulier zijn in (f(x), 0, a). Immers, de determinant van de gradient is proportioneel met 1/r.

Omdat dat de enige plaats is waar het lichaam een punt(muts) kan hebben.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100