Convergentie van een rij volgt uit het bestaan van een limiet. Die limiet toon je op zich dan weer aan via een epsilon delta definitie?
Een andere optie zou ook cauchy of d' alembert zijn? Deze 2 hebben geen limiet nodig en dus ook geen epsilon delta definitie?
1.5K
1.5K keer bekeken
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Volgens mij verwar je rijen met reeksen, of doel je met D'Alembert en Cauchy niet op convergentietesten voor reeksen? Misschien kan je je vraag even verduidelijken.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ik heb het over rijen in een n-dimensionale ruimte. Deze kunnen ook convergeren. Ik dacht aan een epsilon delta bewijs om de limiet aan te tonen. Maar met d'alembert, cauchy kun je het zonder limiet.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Uiteraard kunnen rijen convergeren. Maar kan je verduidelijken wat je bedoelt met D'Alembert en Cauchy? Want onder die namen ken ik convergentiekenmerken voor reeksen, niet rijen.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
D'alembert heb ik er vanuit de reeksen bijgehaald. Maar van cauchy ben ik vrij zeker:
Een rij am in R^n wordt een Cauchy-rij genoemd als en slechts dan als:
||ap - aq||< epsilon, zodra p>N en q>N met N€ natuurlijke getallen en met epsilon >0.
Propositie:
Een rij in R^n is convergent als en slechts dan als ze een Cauchy-rij is en dan volgt een bewijs in mijn cursus :p
Een rij in R^n is convergent als en slechts dan als ze een Cauchy-rij is en dan volgt een bewijs in mijn cursus :p
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Cauchy-rij ja, maar Cauchy heeft zijn naam wel aan meer dingen gegeven ;-). Naast het criterium van D'Alembert heb je er ook een van Cauchy, beide over convergentie van reeksen.
De propositie die je geeft is inderdaad juist, maar dat ligt ook aan R^n (in het algemeen is dat niet zo).
Maar om op je vraag terug te komen, wat is eigenlijk je vraag? ;-)
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Omdat het aantonen van een Cauchy-rij nogal (vind ik zelf) omslachtig is, vroeg ik mij af of het klopt dat je dan overgelaten bent op de limiet van een rij. Meestal moet die dan via maple bepaald worden. En dan moeten we hem nog eens via een epsilon delta definitie bewijzen.
De vraag was dus of dit allemaal wel steek hield.
De vraag was dus of dit allemaal wel steek hield.
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Heeft elke Cauchy-rij een limiet?
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Correctie: convergeert elke cauchy-rij?
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ja zie de propositie van mijn 2e bericht. Elke cauchy-rij convergeert. En heeft dus ook een limiet? Dat laatste ben ik niet zeker, maar volgens mij is dat gewoon de definitie van convergentie :D
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
"Correctie: convergeert elke cauchy-rij?"
- Daarop is het antwoord 'nee', MAAR: wel in R (en ook in R^n). De begrippen zijn equivalent in een 'volledige ruimte' (zoals R, maar bv. niet in Q).
- Daarop is het antwoord 'nee', MAAR: wel in R (en ook in R^n). De begrippen zijn equivalent in een 'volledige ruimte' (zoals R, maar bv. niet in Q).
Verwijderde gebruiker
12 jaar geleden
Ja... Sorry :P Ik ben niet helemaal thuis in rijen etc. Mijn kennis daarover is zeer beperkt. Dus als ik hier wiskundig gezien onzin uitkraam trek ik mezelf graag terug; haha.
In dat geval (""zonder"" limiet): je kunt dus aantonen dat het niet divergeert (ons indirect bewijs) ofwel dat het een Cauchy-rij is (voor R^n) (n € N U {0}) (gebruikmakend van jouw prepositie).
Als laatste is een limiet natuurlijk altijd mogelijk. Let wel op dat dit limiet element is van de rijverzameling. Dat is de hele grap. In R^n is dat volgens mij over het algemeen wel zo, maar dat durf ik niet met zekerheid te zeggen. (Is het proberen waard?)
Ik denk dat de kwestie nu helemaal opgehelderd is???
Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.