Is deze stelling wel correct? (begrensdheid bij functies van meerdere veranderlijken)

Definitie:
Een verzameling S € R^n heet compact indien ze gesloten en begrensd is.

Stelling:
Zij f: S --> R continu in de compacte deelverzameling S van R^n. Dan is f begrensd op S.
----------------------------------------
Compact impliceert toch begrensdheid? Zo ja, hoe zouden beide definities er dan moeten uitzien opdat de voorwaarden niet de gevolgen zouden impliceren?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

- "Compact impliceert toch begrensdheid?" Ja, maar dat is niet wat de stelling zegt (over een verzameling). S is compact (en dus per definitie begrensd!) maar dat wil nog niet zeggen dat de functie f ook 'begrensd is op S', dat gaat over de verzameling van beelden f(S) van die functie. Een sterkere stelling zegt dat ook die compact zal zijn, in jouw stelling wordt er enkel gesproken over begrensd. Meer algemeen geldt dus het volgende: als f:S->R continu is op S en S is compact, dan is ook f(S) compact. Als f niet continu is, is dit niet noodzakelijk zo. In het bijzonder geldt dat f(S) dus begrensd is, want compact impliceert (inderdaad) begrensd. Voor de duidelijkheid: we noemen de functie zelf 'begrensd op S' als de beeldverzameling f(S) begrensd is. Helpt dit?

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100