Welke 2-dimensionale geometrische figuur heeft de grootste oppervlakte bij een gegeven omtrek. En hoe bewijs je dit?

Voor welke figuur geldt dat Opp/Omtrek het grootst is. Ik denk een cirkel, maar hoe toon je dit aan?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Stel je hebt een vierhoek, bijvoorbeeld een vierkant. Als je de tegenover elkaar staande hoeken naar elkaar toedrukt dan wordt de oppervlakte altijd kleiner terwijl de omtrek altijd dezelfde blijft. Dit komt omdat een 4hoek uit 2 driehoeken bestaat. Trek maar een diagonaal en je zult 2 3hoeken zien verschijnen. En je weet dat de oppervlakte van een 3hoek hoogte x basis gedeeld door 2 is: (h x b)/2. (Let wel dat de hoogtelijn of loodlijn in dit geval altijd op een van de zijden van de 4hoek komt, dus niet op de diagonaal!) Als je tegenover elkaar staande hoeken naar elkaar toe drukt worden de hoogtelijnen dus hoogtes korter en dus de oppervlaktes van de 3hoeken kleiner. Het gekke, maar eigenlijk best logisch, is dat als je diezelfde hoeken juist uitelkaar trekt de hoogtelijnen ook korter worden. Bijvoorbeeld in een parallellogram zijn de hoogtelijnen altijd korter dan in een rechthoek. Dit gaat ook op voor 5hoeken, 6hoeken, 7hoeken enz. Het maakt niet uit of zij regelmatige of onregelmatige veelhoeken zijn. Je kunt ze allemaal in 3hoeken onderverdelen. De 5hoek heeft 3 3hoeken, de 6hoek 4 etc. Het gaat dus om de lengte van de hoogtelijnen van de desbetreffende 3hoeken in een figuur. Het leuke is dat bij een cirkel de hoogtelijnen van de "3hoeken", en dat zijn er in een cirkel oneindig veel, net zolang zijn als de opstaande zijden, dus eigenlijk net zolang als de straal van de cirkel. En je weet dat de oppervlakte van een cirkel is straal in het kwadraat maal pi. Dus hoe kleiner de straal des te minder de oppervlakte van een cirkel. Voilá het bewijs.

Je moet beginnen om alle oppervlakten uit te rekenen. Begin bv met een cirkel. Neem een straal (r) van 5 meter. Dan heb je een diameter (d) van 10. De oppervlakte is dan: Pi•5^2=78,53 m de omtrek is dan: Pi•10=31,42 m neem met dezelfde maten nu bijvoorbeeld een vierkant. De omtrek moest het zelfde zijn volgens jouw vraag. Dus de omtrek van een vierkant: 31,42 m 31,42/4 kanten = 7,85 m 7,85•7,85=61,68 vierkante meter dat is dus minder oppervlakte als een circel met dezelfde omtrek. Succes met de rest van de figuren.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100