Wanneer is de kans groter dat je jezelf trekt met lootjes trekken: in een grote groep of in een kleine groep? Of maakt het geen verschil?

Question

In een grotere groep (bijv 25) is de kans dan 1 op 25, in een kleinere (bijv 5) is de kans 1 op 5. Maar in de grotere groep zijn er ook 25 mensen die zichzelf kunnen trekken, terwijl dat er in de kleinere groep maar 5 zijn.

Toegevoegd na 5 uur:
Ik bedoelde niet dat iedereen zichzelf trekt, meestal stopt het lootjes trekken als 1 persoon zichzelf trekt en kun je overnieuw beginnen..

 · Accepted Answer

Dit is een heel complex statistiekvraagstuk.

De kans dat de loterij opnieuw moet omdat minstens één iemand zijn eigen lootje heeft getrokken is (bijna) onafhankelijk van de groepsgrootte!

De kans is gelijk aan (1-1/e) waarbij e gelijk is aan 2,71828.....

Deze kans is dan ongeveer 63% dat het opnieuw moet en ongeveer 37% dat het goed gaat. Dit geldt al vanaf 4 a 5 personen.

Stel dat er 2 personen zijn, dan is de kans dat de loterij goed gaat indien die 2 personen lootjes trekken:

P(2)=((-1)^2)/2! = 1/2

Stel dat er 3 personen zijn, dan is de kans dat de loterij goed gaat indien die 3 personen lootjes trekken:

P(3) = P(2)+((-1)^3)/3! = 1/2 - 1/6 = 1/3

enzovoort:

P(4) = P(3) + ((-1)^4)/4!  = 1/3 + 1/24 = 3/8 = 0.375
P(5) = P(4) + ((-1)^5)/5!  = 3/8 - 1/120  = 0.367

Stel dat er n personen zijn, dan is de kans dat de loterij goed gaat indien die n personen lootjes trekken:
P(n) = P(n) + ((-1)^n)/n!

Als n groot genoeg is dan gaat deze kans dus naar 1/e.

Rond je af op 2 decimalen, dan is deze kans vanaf n=5 al "stabiel" namelijk 0,37. Neem je n groter, dan blijft deze kans afgerond op 2 decimalen gelijk aan 0,37

Wil je meer weten over de wiskunde hierachter:
http://www.wisfaq.nl/bestanden/Bernoulli.pdf
(maar dit is wel geavanceerde wiskunde hoor!).

In elk geval, het antwoord op je vraag is: Of je nu met 4, 5, 6 of 100 personen sinterklaaslootjes trekt, de kans dat het in één keer goed gaat is ongeveer 37%!

Toegevoegd na 1 minuut:
Erratum:

P(n) = P(n) + ((-1)^n)/n!

moet zijn:

P(n) = P(n-1) + ((-1)^n)/n!

Toegevoegd na 4 minuten:
Nog wat extra uitleg:

Met n personen is de kans dat de loterij in één keer goed gaat dus:

1/2! - 1/3! + 1/4 - 1/5! + 1/6! .... 1/n!

Waarbij het uitroepteken staat voor faculteit.

n! = 1x2x3x4x....xn

Toegevoegd na 11 minuten:
Als je nog meer wilt weten:
http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=1371&j=2002

Toegevoegd na 19 uur:
ZIE HIER VOOR DE AFLEIDING VAN DE FORMULE:
http://www.wisfaq.nl/top.htm?url=http://www.wisfaq.nl/bestanden/het_lootjestrekken.pdf

 · Answer

Hoe groter de groep, hoe kleiner de kans.
Truc met dit soort dingen is overdrijven:
Stel je doet je lootje in een container met miljoenen andere lootjes. Er wordt flink gehusseld, en dan mag jij een lootje eruit trekken. Wedden dat het niet je eigen lootje is?

Toegevoegd na 2 minuten:
Maar misschien bedoel je het pecentage mensen dat zn eigen lootje trekt. Misschien is dat je vraag eigenlijk.

 · Answer

Tot aan de 1 na laatste zin in je vraag en toelichting is alles helemaal duidelijk.
5 personen - kans 1 op 5
25 personen - kans 1 op 25
2500 personen - kans 1 op 2500

Hoe groter de groep, hoe kleiner de kans dat je je eigen lootje trekt, en dat geldt voor alle deelnemers in de groep.

In je laatste zin heb je het opeens over iets totaal anders. Namelijk het aantal mensen dat kans maakt op het trekken van het eigen lootje. Wat de uitkomst van dat gegeven ook is; het blijft een feit, dat het niets verandert aan de kans 1:5, 1:25 of 1:2500. Dat is je vraag, en dat is dan ook het antwoord.

Met alle respect; je hebt het over appels, en je trekt een juiste conclusie over die appels. Vervolgens haal je er peren bij. Dat is prima, maar dat haalt je bewering over de appels niet onderuit. Dat blijft waar. ;-)

amigo · Answer

bij 5 mensen en  5 lootjes is de kans dat je zelf jezelf trekt  1/5 en voor alle andere ook.
als je al die kansen wilt weten moet je de kansen samennemen en dat gaat met vermenigvuldigen

Ik zal het uitschrijven voor 3 spelers daar is de kans 1/6 ofwel 1/(3x2x1)
de optie na trekken zijn (eerst de persoon, dan wat hij trekt)
a-a
b-b of b-c
c-c of c-b
de 2 opties schrijf ik nu als abc of acb
dus als a zichzelf trekt zijn er 2 andere opties, b en c hebben ook zichzelf of juist de ander
 dit kun je herhalen voor als b zichzelf trekt
je hebt dan abc (maar die kennen we al) of cba
en voor c: abc maar die kennen we al of bac
en dan heb je nog de opties dat niemand zichzelf heeft:
dus bca, cab
dus alle manieren waarop het kan vallen zijn

abc, acb, bac, bca, cab, cba, 
dus totaal aantal opties voor 3 lootjes is 3x2x1
iedereen zichzelf is 1 uit 6
2 zichzelf is hier niet mogelijk 
1 zichzelf is 3 uit 6 (= 3 x 1/6)
niemand zichzelf is 2 uit 6

voor 5 lootjes wordt dit:
aantal opties: 5x4x3x2x1 = 120
kans op iedereen zichzelf is 1 uit 120 (=dus kleiner dan bij 3 stuks)
kans op 1 iemand zichzelf = 25 x 1/120 (is dus ook kleiner)
2 mensen zichzelf wordt moeilijk uitrekenen, dat is echt statistiek

Toegevoegd na 42 minuten:
vraag liet me toch niet los, de formules zijn behoorlijk ingewikkeld en zou ik zelf  ook op moeten zoeken
ik heb het alleen ook even uitgeschreven voor 4 lootjes
daar zijn 24 opties, 1x is iedereen zichzelf, 6 verschillende opties waarbij 2 zichzelf hebben, 8 opties waarbij 1 zichzelf heeft en 9 opties waarbij niemand zichzelf heeft (is samen inderdaad 24). als je dus de kansen bekijkt dat niemand zichzelf trekt, is dit bij 3 lootjes 2 uit 6 (= 0,3333)
en bij 4 lootjes 9 uit 24 (=0,375).

conclusie: bij 3 lootjes is er 66% kans dat minimaal 1 persoon zichzelf heeft en bij 4 lootjes is dit 62,5%, bij 5 stuks zal het dus weer iets lager zijn enz enz

Wanneer is de kans groter dat je jezelf trekt met lootjes trekken: in een grote groep of in een kleine groep? Of maakt het geen verschil?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (3)

Weet jij het beter..?