Wat is de oplossing van de tweelingparadox in de *algemene* relativiteitstheorie?

In de speciale relativiteitstheorie is er de tweelingparadox; kort samengevat:
"Tweelingbroer Bob vertrekt in een raket, vliegt heel snel ver weg, draait zich om, en vliegt weer heel snel terug. Tweelingzus Alice bleef thuis. Alice ziet Bob hard gaan, dus ziet zijn klok langzamer lopen; Bob ziet iets soortgelijks voor Alice. Beiden zien elkaar dus langzamer verouderen dan zichzelf. Wie is het oudst op het moment dat ze elkaar weer ontmoeten?"
De oplossing van die paradox is dat Bob halverwege moet omkeren. Daarbij ondergaat hij een versnelling, die hij merkt en meten kan. Alice ondergaat dat niet. Daardoor is de situatie niet symmetrisch. Uiteindelijk blijkt Alice sneller verouderd te zijn dan Bob.
So far so good...
Maar, wat nu als Bob snel wegvliegt en door een aantal zware sterren wordt afgebogen onderweg en op díe manier een lus maakt en toevallig weer precies terugkomt bij Alice? Kortom, wat als het dus niet een merkbare versnelling is opgewekt door de raketmotor, maar het effect van de zwaartekracht?
Volgens de algemene relativiteitstheorie is een coordinatenstelsel in vrije val in een zwaartekrachtsveld (d.w.z. Bob) niet te onderscheiden van een coordinatenstelsel in de lege ruimte (d.w.z. Alice). In het bijzonder merkt Bob op geen enkel moment een versnelling: hij blijft gewichtsloos in zijn raket. Net als Alice die is thuisgebleven in empty space.
Wat nu als hij weer bij Alice terugkeert? Wie is er nu ouder?

Weet jij het antwoord?

/2500

Dat blijft hetzelfde. Dat Bob de versnelling niet merkt wil niet zeggen dat hij er niet is.

De belangrijkste formule in de speciale relativiteitstheorie is dat t'= t . sqrt( 1 - v^2/c^2). Hierbij is t de tijd die een waarnemer in een bepaald inertiaalstelsel meet. t' is de tijd die de reiziger meet. Anders gezegd: als een klok door een inertiaalstelsel verplaatst dan zal die klok voor de waarnemer langzamer lijken te lopen. Echter vanuit het inertiaalstelsel van de reizende klok geldt het zelfde. In het geval van de tweeling is er echter sprake van versnellingen op het moment dat de de een bij de ander vertrekt en weer omkeert. Dat maakt het lastig. De belangrijkste formule uit de speciale relativiteitstheorie kan echter ook anders worden geschreven: t= sqrt( t' + s^2/c^2). Deze formule kun je lezen als: een klok die voor een waarnemer een zekere afstand aflegt in het inertiaalstelsel van de waarnemer zal voor de waarnemer een zeker tijd overbruggen, namelijk s/c. s staat voor de afstand en 1/c voor 1 seconde per 300.000 km. Deze kun je echter niet zonder meer bij elkaar optellen. Als je echter t' op een coördinaat uitzet en s/c op een andere, waarbij de twee loodrecht op elkaar staan dan geldt voor elk punt in dat vlak dat t= sqrt( t' + s^2/c^2). Toegevoegd na 12 minuten: O, ja en als je in de buurt van een zware massa bent zal jouw tijd voor de waarnemer nog langzamer gaan lopen. In dat speciale geval kom je dus nog jonger terug.

Het is een erg goede vraag, meestal nemen we gravitatie waar met proprioceptie (spoeltjes in pezen en dergelijk) en met het het evenwichtsorgaan in het bijzonder het gehoorsteentje voor lineaire versnellingen en de halfcirkelvormige kanalen voor versnellingen rond diverse assen. Die zintuigen zijn nogal beperkt, doordat het stilstaand geachte steentje en de stilstaand geachte vloeistof in de kanaaltjes versnellingen van de rest van het lichaam ten opzichte van dat stilstaande object meten. Om echt gravitatie te meten zul je je toevlucht moeten nemen tot de afbuiging van het licht. Dat werkt in een capsule die rond een zware ster cirkelt nog goed, of je moet gebruik maken van het corioliseffect, dat komt op hetzelfde neer. Hetzelfde principe doet ook de klokken langzamer lopen. Conceptueel de mooiste klok is een lichtklok die een lichtstraal heen en weer laat stuiteren tussen twee spiegels en het aantal retourtjes als een tijdmaat gebruikt. Als je een lichtklok maakt haaks ten opzichte van de versnellingrichting vind je een buiging, maak je de lichtklok in de richting van de versnelling dan vind je alleen een tijdvertraging, die je echter niet kan meten, omdat het "jouw" tijd is. De tijdvertraging van een klok haaks op de richting van de versnelling verklaar je door de extra afstand, de tijdvertraging bij een lichtklok die in de richting van de versnelling staat doordat het licht moeilijker de voorkant van de klok kan bereiken, dat win je niet terug op de terugweg. Uiteindelijk zouden de formules in de Algemene Relativiteitstheorie daar op hetzelfde resultaat moeten komen. Ik ben niet zo thuis in de tensormetriek, maar dat was Einstein ook al niet, waardoor het lang duurde voordat de formules van de Algemene Relativiteitstheorie het licht zagen. De reizende tweeling zal dus af en toe flinke afbuigingen van het licht kunnen waarnemen, zodat de situatie niet symmetrisch is.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100