Hoe bepaal je in welke hoek de bal eindigd?

In de foto is een biljart tafel getekend, de afmeting is 24 bij 15 dm. Als er een bal vanuit de linksonser hoek met 45 graden wordt weggeschoten eindigd de bal na 12 botsingen in de hoek rechtsonder.

Als we de hoogte (nu 15dm) veranderd hoe kan je dan met een simpele berekening bepalen in welke hoek de bal eindigd?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

De bal legt bij elke weerkaatsing de breedte b af in zowel lengte als de breedte (door de hoek van 45 graden). Dus de totale afstand in de lengte richting moet gelijk zijn aan de totale afstand in de breedte. De bal legt x keer de breedte af en y keer de lengte. De vergelijking wordt dus: y*l=x*b. In jouw voorbeeld geldt: l=24 en b=15. De vergelijking wordt dus: 24y=15x. Nu moeten we twee gehele getallen vinden voor x en y zodat de vergelijking klopt. Dit zijn de getallen y=5 en x=8. Het beginpunt is geen botsing, dus de totale hoeveelheid botsingen is: x+y-1. In jouw voorbeeld is dat: x+y-1=8+5-1=12 botsingen. Dus, het totale aantal botsingen bereken je met de volgende formule: botsingen = x+y-1 waarbij moet gelden y*l=x*b. Toegevoegd na 16 minuten: Het vinden van de kleinste x en y gaat via de volgende methode. In je voorbeeld geldt 24y=15x => y=(15/24)x. Neem x=24, dan geldt y=15. Deze getallen hebben misschien nog een gemeenschappelijke deler, dus ze zijn niet de kleinste getallen die je kan vinden. Om de kleinste getallen te vinden moet je de gcd(15,24) bepalen, de greatest common divisor van 15 en 24. Deze bepaal je als volgt: Schrijf het grootste getal op en schrijf dat als een vermenigvuldiging met het kleinste getal plus een rest. 24 = 1* (15) + 9 Neem nu de 15 als het grootste getal en 9 als het kleinste getal. Doe dit totdat de rest 0 is. 15 = 1* (9) + 6 9 = 1* (6) + 3 6 = 2* (3) + 0 De gcd is nu de een na laatste rest, dus die boven 0 staat. In dit geval de 3. Dus gcd(15,24)=3. Delen we dus x en y door 3 dan krijgen we de nieuwe x en y, namelijk: x=24/3=8 en y=15/3=5. Dus x=8 en y=5.

Bronnen:
gcd vinden: Hoorcollege van Discrete Wiskunde

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100