Theoretisch is het antwoord: ja. Het effect is echter zo minimaal, dat je het niet zult merken.
Laten we er eens van uitgaan dat jij naar de zendmast toe beweegt met een snelheid van 108000 km/u. Dat is 30 km/s, ofwel Amsterdam-Utrecht in één seconde. Valt dat onder jouw definitie van "heel snel"?
De lichtsnelheid is ongeveer 300000 km/s. De radiogolven leggen diezelfde 30 km, waar jij een seconde voor nodig hebt, af in een tienduizendste seconde.
Als de zendmast in Utrecht staat, zal iemand in Utrecht de muziek dus een tienduizendste seconde eerder horen dan iemand in Amsterdam.
Jij beweegt je in een seconde van Amsterdam naar Utrecht. Gedurende jouw reistijd hoor je dus 1,0001 seconden van het nummer, terwijl iemand die in Amsterdam is gebleven 1,0000 seconden van dat nummer hoort. Iemand die in Utrecht op een terrasje zit hoort trouwens ook 1,0000 seconden van het nummer.
Dus ja, jij hoort 1,0001 muziekseconden per horlogeseconde, terwijl je 1,0000 muziekseconden per horlogeseconde zou hebben gehoord als je stil was blijven staan. Voor dat kleine verschil moet je wel 108000 km/u reizen - en die snelheidswinst haal je alleen zolang je beweegt, dus niet tijdens het versnellen en vertragen.
Als je nog sneller reist, moet je erop letten dat je je radio opnieuw afstemt, anders verlies je het station. De radiogolven zelf komen namelijk ook op een net iets andere (hogere) frequentie binnen.