Is 1+1 altijd 2?
Waarheid is relatief behalve in de wiskunde, maar ik hoorde dat 1+1 niet altijd 2 was en dat er voor 1 probleem meerdere mogelijkheden gegeven kunnen worden.
-
Vraag volgen
- Delen
-
-
Weet jij het antwoord?
1+1 is in het decimale stelsel, ofwel het stelsel waarmee we de getallen 0 t/m 9 gebruiken, altijd 2. Daar kan niet van worden afgeweken. Echter kennen wij natuurlijk ook andere stelsels als het binaire en het trinaire stelsel (en nog veel meer). Nu heeft de som 1+1, alleen in het binaire stelsel invloed op het antwoord. De 2 bestaat niet in het binaire stelsel dus wordt het antwoord 10. En ja, in veel wiskundige situaties kan een probleem vaak op meerdere manieren opgelost worden wat weer leidt tot andere antwoorden. Maar bij deze eenvoudige optelsom is slechts in het hiervoor genoemde voorbeeld een ander antwoord mogelijk.
Als je afrondt maar wel rekent met onafgeronde getallen kan 1+1 ook 1 of 3 zijn (0,6+0,6 of 1,3+1,4)
Volgens de quantummechanica kan één voorwerp op twee plaatsen tegelijk zijn. In zo’n geval is 1+1=1. Toegevoegd na 10 uur: Dit is de rubriek filosofie: Wittgenstein legde op de volgende manier aan kinderen uit dat 1+1=0: Laat twee waterdruppels op een gloeiende kachel vallen en je hebt 0 waterdruppels. 1+1=1: Laat twee waterdruppels op dezelfde plek vallen en je hebt 1 waterdruppel.
Het heeft niets met getalstelsels te maken, zoals hierboven betoogd. In andere stelsels schrijf je "twee" misschien anders (10 binair), maar het blijft "twee". Echter, 1+1 hoeft niet altijd 2 te zijn! Getallen zijn elementen waarop operaties toegepast worden (zoals optelling en vermenigvuldiging) en die voldoen aan bepaalde regels (zoals commutativiteit, a+b=b+a, a*b=b*a, associativiteit, (a+b)+c=a+(b+c), (a*b)*c=a*(b*c), en distributiviteit, a*(b+c)=a*b+a*c). Er zijn twee speciale getallen die identiteitselementen zijn van de optelling en de vermenigvuldiging: het nulelement met de eigenschap x+0=x, en het eenheidselement met de eigenschap x*1=x. Vervolgens kun je gaan proberen "algebras" te construeren die aan alle regels voldoen. - Het simpelst is een algebra met maar één element dat tegelijk als nul- en als eenheidselement fungeert. Noemen we dat element 0, dan heb je alleen de operaties 0+0=0 en 0*0=0, hetgeen aan alle regels voldoet. Alleen is dit niet zo nuttig omdat het antwoord op alle vragen altijd 0 moet zijn, dus dit triviale voorbeeld laten we buiten beschouwing. - Vervolgens kun je kijken wat er mogelijk is met twee elementen. Het blijkt dan dat het nul- en het eenheidselement niet hetzelfde kúnnen zijn (leuke oefening om dit aan te tonen), dus we hebben dan een verzameling bestaande uit {0,1} met als enige mogelijke operaties 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1, 0*0=1*0=0*1=0, 1*1=1. Dit is een algebra waarin 1+1 NIET gelijk is aan 2, want 2 bestaat helemaal niet. Hier is 1+1=0. Het is de algebra modulo twee (als rekenen met alleen "even" en "oneven"). - Ga je drie elementen introduceren, dan moet er een nulelement zijn (0), een eenheidselement (1), en nog een derde element dat we dan maar twee noemen (2). Werk je dit uit, dan blijkt dat de uitkomst van 1+1 gelijk móet zijn aan 2, wil je aan alle regels voldoen (ook een leuke oefening). Dit is de algebra modulo drie. - Met meer dan drie elementen wordt het ingewikkelder. Sommige algebras hebben 1+1=2, andere algebras hebben 1+1=0. Sommige zijn "modulo"algebras, andere niet. Andere mogelijkheden zijn er eigenlijk niet: als de uitkomst van 1+1 niet 0 is, en aangezien het nooit 1 kan zijn, dan is de enige andere mogelijkheid dat de uitkomst iets anders is dan 0 of 1, en dat andere element noemen we dan *per definitie* twee. Dat gaat ook op voor onze "normale" definitie met oneindig veel getallen. Kortom: 1+1=2 is niet altijd waar, en dat wordt bepaald door hoe je je getalsysteem opzet.
Stel zelf een vraag
Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?
Populaire vragen in deze categorie
