Is een bestuursorgaan verplicht om brieven (verzoeken, beslissingen, mededelingen enz.) te formulieren op een manier dat de text duidelijkheid geeft?

De teksten moeten juridisch juist zijn. (En dat zijn ze meestal ook). Goed leesbaar is iets anders. Ze zijn vaak nogal taai voor wie niet aan wettekstentaal gewend is.
De overheid erkent het probleem en doet er ook haar best voor dat ambtenaren leesbaarder en minder ambtelijk gaan schrijven maar Jip-en-Janneketaal' zal het nooit worden.

Toegevoegd na 2 uur:
Feitelijk is de vraag niet te beantwoorden omdat "duidelijkheid" een relatief begrip is, dat hangt ook van het kennis- en opleidingsniveau af.

Een verplichting om begrijpelijk te schrijven is er niet, maar een streven wel. Althans bij sommige overheidsorganen.

De Belastingdienst heeft tussen 2005 en 2010 wel een poging gewaagd, in het kader van "Leuker kunnen we het niet maken, wel gemakkelijker." Er is toen gesteld dat er moest worden gecommuniceerd in "Burgertaal", genormeerd als B1-niveau.
Dat heeft geresulteerd in beter begrijpelijke brieven en een hogere klanttevredenheid.
Zie bijvoorbeeld de interne richtlijnen van de Belastingdienst hierover, die gewoon extern opvraagbaar zijn. Zie de link bij Bronnen.

Dat B1-niveau is overigens ook ergens gestandaardiseerd/genormeerd. Zie daarvoor de tweede link bij Bronnen.

Er is een lobby gaande in Den Haag om ook andere overheidsorganen zo ver te krijgen dat ze het initiatief van de Belastingdienst gaan volgen en als gevolg daarvan een inventarisatie bij het Ministerie van Algemene Zaken. Maar het zal nog wel een tijdje duren voordat het komt tot wet- of regelgeving. Als je nieuwsgierig bent naar de ontwikkelingen op dat vlak binnen het ministerie van Algemene Zaken: zie de derde link.