Als ik een product vanuit Nederland naar Engeland verstuur, moet degene in Engeland (die het product dus ontvangt) invoerrechten oid betalen?

Nee, onderling betalen lidstaten van de EU geen invoerrechten.
Zie bron:

Als jij eenNederlandse ondernemer bent en de ontvanger is een Engelse consument dan moet er BTW tegen het Nederlandse tarief voor dat soort product in rekening gebracht worden aan de ontvanger.
Maar:

"Levert u in een jaar voor meer dan de onderstaande bedragen goederen aan particulieren, ondernemers die geen aangifte doen, of organisaties die geen ondernemer zijn? U moet dan het btw-tarief van het land van uw klant in rekening brengen. Dit doet u vanaf het moment dat uw omzet voor dat land hoger is dan het onderstaande drempelbedrag, voor de rest van het jaar en in ieder geval ook het volgende jaar." (Voor UK: GBP 70.000)