Hebben burgers invloed op de EU?

Alleen via de eigen landelijke verkiezingen kunnen eu bewoners stemmen op de partij waar ze het meest in geloven.

Ja, onder andere door de Europese verkiezingen.

https://www.europarl.europa.eu/at-your-service/nl/be-heard/elections
Wanneer u gaat stemmen, kiest u voor kandidaten van nationale politieke partijen. Wanneer deze kandidaten eenmaal zijn gekozen, sluiten ze zich gewoonlijk aan bij een transnationale fractie. De meeste nationale partijen zijn aangesloten bij een Europese politieke partij.

Maar in bepaald opzicht ook door de Tweede Kamerverkiezingen, aangezien sommige partijen meer of minder invloed van de EU willen en zich hiervoor in zullen zetten.

Een andere mogelijkheid is nog een referendum, denk aan de Brexit of het referendum voor een EU-grondwet.

Daarnaast kan je nog heel filosofisch stellen dat al je handelen binnen de EU een bepaalde invloed heeft op de EU.
===
https://nl.wikipedia.org/wiki/Referendum_over_het_Verdrag_tot_vaststelling_van_een_Grondwet_voor_Europa

Een referendum over het Verdrag tot vaststelling van een Grondwet voor Europa zou gehouden worden in minstens tien landen in de Europese Unie. Nadat in Frankrijk en Nederland de meerderheid tegen stemde werden de meeste nog te houden referenda uitgesteld. In Tsjechië werd het zelfs geannuleerd. Daarnaast zijn er landen die géén referendum houden en zijn er landen die nog niet besloten hebben hoe de grondwet geratificeerd gaat worden. Het Verdrag dient echter wel door alle 25 landen goedgekeurd te worden.
===
NOG een mogelijkheid is een petitie indienen.
https://www.europa-nu.nl/id/vh7douwma7p8/recht_van_petitie_europese_unie
"
Recht van petitie Europese Unie
Op Europees niveau hebben burgers het recht hebben zich met verzoeken of klachten schriftelijk tot het Europees Parlement te richten. De klacht, het verzoek of verzoekschrift noemt men een petitie. Voor het indienen van een petitie gelden een aantal strikte voorwaarden.
"