Mag een BHV'er zomaar een paracetamol geven aan iemand?

Nee, je hebt als uitgevende instantie een registratieplicht.

https://www.mariekabaars.nl/preventie/pijnstillers-geven/
Toonbankartikelen
Ik was in de veronderstelling dat je zonder problemen dergelijke pijnstillers aan collega’s en/of medewerkers kon aanbieden wanneer ze hoofdpijn en/of keelpijn hebben. Je kan ze immers in bijna elke supermarkt kopen. Maar een BHV/EHBO-instructeur wees mij er op dat aan het aanbieden van pijnstillers en dergelijke artikelen een registratieplicht zit. Mocht een medewerker onwel worden of complicaties krijgen, dan kun je als verstrekkende organisatie aansprakelijk gesteld worden. Oeps! Dat ik had ik mij totaal niet gerealiseerd. Wanneer jij als collega iemand (zelf) een pijnstiller geeft, dan valt dit in principe buiten de verantwoordelijkheid van de werkgever.

Als een BHV'er EHBO'er is:

https://www.ehbo.nl/faq/
"Mag je als EHBO'er iemand paracetamol geven?
Op uitdrukkelijk verzoek van een slachtoffer mag een eerstehulpverlener maximaal één tablet paracetamol verstrekken."