Mag je bomen langs de weg weghalen na de storm? En gebruiken voor mijn kachel

Neen, dit mag niet.
Dit is sprokkelen, en sprokkelen is verboden. Het wordt gezien als vorm van stroperij.
Zeker als het hele bomen betreft is dat ook wel logisch, deze bomen zijn het eigendom van iemand, ook als ze omgewaaid zijn, en die mag je je dus niet zo maar toeeigenen.

Wel kun je de gemeente bellen (als de bomen van de gemeente zijn) om toestemming te vragen, soms geven ze je die.

Toegevoegd na 4 minuten:
... tenminste, ik ken voorbeelden van dat de gemeente toestemming ga om afgewaaide (grote) takken zelf op te ruimen, of ze dat ook met een hele boom toestaan weet ik niet. Maar je kunt het allicht proberen.

Toegevoegd na 9 minuten:
"Hij die, zonder geweld of bedreiging met geweld tegen personen, geheel of ten dele aan een ander toebehorende klei, bagger, ongesneden veen, zand, aarde, grind, puin, mestspeciën, zoden, plaggen, heide, helm, wier, riet, biezen, mos, onbewerkt en niet vervoerd hak- of sprokkelhout, ongeplukte of afgevallen boomvruchten of bladeren, te veld staand gras of te veld staande of na de oogst achtergebleven veldvruchten wegneemt, met het oogmerk om zich die voorwerpen wederrechtelijk toe te eigenen, wordt, als schuldig aan stroperij, gestraft met gevangenisstraf van ten hoogste een maand of geldboete van de tweede categorie." (wikipedia)

hmm... hele bomen staan hier niet genoemd.