Waarom kan wortel 2 nooit een eindige decimale breuk zijn?

Ik moet voor wiskunde een verslag maken. Weet iemand waarom dit zo is, en waarom het nog lastiger is om aan te tonen dat wortel 2 niet een decimale breuk is met oneindig veel cijfers achter de komma en en een repeterend deel?

Weet jij het antwoord?

/2500

Een cijfer achter een komma zorgt in het kwadraat altijd voor een extra decimaal: 0,9×0,9=0,81 0,5×0,5=0,25 0,1×0,1=0,01 Met geen enkele breuk kom je dus na kwadrateren uit op een geheel getal. Geen sluitend bewijs, maar misschien heb ik je gedachten in de goede richting kunnen sturen.

Stel dat √2 een eindige decimale breuk zou zijn. Dan zouden we het ook kunnen schrijven als een gewone, niet vereenvoudigbare breuk a/b. a en b zijn dan niet beide even, want dan zou de breuk vereenvoudigbaar zijn. Omdat a/b = √2, geldt a²/b² = 2, en dus a² = 2b². Hieruit kunnen we concluderen dat a² even is. Een kwadraat dat even is, is ook deelbaar door 4. Omdat a² = 2b² is ook 2b² deelbaar door 4. Dus b² is deelbaar door 2. Dus b² is even. Dus b is even. Hé, nu hebben we geconcludeerd dat zowel a als b even zijn. Terwijl we waren begonnen met een niet vereenvoudigbare breuk a/b, waarin a en b dus niet beide even zijn. De conclusie moet zijn dat zo'n breuk niet bestaat. En dus ook geen eindige of oneindig repeterende decimale breuk. We zeggen dat √2 een irrationaal getal is. Dat wil zeggen: niet weer te geven door een "ratio" een verhouding tussen twee gehele getallen a en b.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100