Hoe komt de continuümhypothese erbij dat de kardinaliteit van de verzameling reële getallen het eerste overaftelbare kardinaalgetal is?

De hypothese luidt:

Er bestaat geen verzameling, waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt.

Nu zijn reële getallen overaftelbaar. Een verzameling heet overaftelbaar als ze niet afgeteld kan worden. Een voorbeeld van een overaftelbare verzameling vormen de reële getallen groter dan 2 en kleiner dan 3.

Natuurlijke getallen blijken dan weer wel aftelbaar omdat ieder getal uiteindelijk wel aanbod komt.

Maar waarom zijn reele getallen dan het éérste aftelbare getal? Zijn er bijv. nog meer dan.
En waarom zijn natuurlijke getallen niet overaftelbaar? Immers als je bij oneindig begint komt je toch nooit bij ieder getal uit?!

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Om eerst even wat recht te zetten: Een aftelbare verzameling betekent _niet_ dat je met de taak van het tellen van de elementen van die verzameling gereed kunt komen. Als dat zou kunnen was het namelijk een eindige verzameling, en er zijn oneindig veel natuurlijke getallen. Aftelbaar betekent dat je in principe een systematische lijst zou kunnen maken waarop alle elementen van de verzameling langs zouden komen, als je oneindig lang zou doorgaan. Bij de natuurlijke getallen zou die lijst bijvoorbeeld 1, 2, 3, 4, .... kunnen zijn. Overaftelbaar betekent dat er zó veel elementen zijn, dat je niet eens kunt _beginnen_ met het opstellen van zo'n lijst. Neem bijvoorbeeld de reeele getallen tussen 2 en 3. Ik zou kunnen beginnen met 2.1, 2.2 ... enz. Maar dan heb ik 2.15 nog niet genoemd. Prima, dan begin ik met 2.01, 2.02, enz. Maar dan heb ik 2.001 nog niet genoemd. Enzovoort. De truc zou dus zijn om een zodanige volgorde te vinden dat ik ‘langs’ alle reeele getallen kom. Nu zijn er slimmere manieren om af te tellen dan wat ik hierboven deed. Bijvoorbeeld heeft iemand laten zien dat je alle "rationale" getallen -dit zijn alle getallen die je kunt schrijven als een breuk van 2 gehele getallen- nog wel op een bepaalde systematische manier langs kunt gaan. Dus zelfs wat hierboven stond, is nog wel "af te tellen", ook al moet daarvoor op een wat vreemde manier door de getallenverzameling heen zigzaggen. Maar voor de reeele getallen heeft Kantor bewezen dat zelfs àls je al een oneindig lange lijst zou kunnen maken waarmee je denkt alle reeele getallen te vangen, er altijd tòch nog altijd getallen te maken zijn die nog niet in je overzicht stonden en die je toe zou moeten voegen- al dacht je dat je ze allemaal al had. Geen enkele lijst -ook niet een die oneindig lang is- kan ze allemaal bevatten. Hoe gek het ook klinkt: de verzameling natuurlijke getallen en de verzameling rationale getallen zijn allebei oneindig, natuurlijk zijn er ‘meer’ rationale getallen dan natuurlijke, maar toch is hun oneindigheid van dezelfde orde: je kunt BEGINNEN met ze af te tellen (ook al zal je nooit gereed komen). Maar de oneindigheid van reeele getallen is van ‘hogere’ orde: je kan er niet eens mee beginnen. Want je kan niet eens een volledige lijst maken omdat je altijd getallen kunt vinden die je er nog ‘tussen had moeten schuiven’. (wordt vervolg in reactie).

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100