Weet iemand hoe je een machtsverheffing moet berekenen met complexe getallen bv. i^7 ?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Dit is een heel eenvoudig geval. Je kunt i^7 schrijven als i^2 x i^2 x i^2 x i. Nu is i^2= -1. Dus krijgen we -1 x -1 x -1 x i en dat is -i. Met andere complexe getallen, zoals 3 +4i is machtsverheffen iets lastiger.

i als de wortel uit -1 kan je afbeelden door een pijl met lengte 1 op de vertikale as, zeg maar de y as (zie het plaatje). Dus -1 is dan een pijl met lengte 1 die vanuit 0 naar links wijst. Dan heeft -1 een hoek van 180 graden, gezien vanaf de positieve x-as, zeg maar vanaf het punt "1". En dan heeft i een hoek van 90 graden, op dezelfde manier gezien. Teken dus een x-as voor de "gewone" getallen en een y-as voor de i-component: i is eigenlijk i+0. Bijvoorbeeld het complexe getal 1+i is het punt dat je krijgt als je vanuit 1 op de x-as 1 "omhoog" gaat, of vanuit i op de y-as 1 naar rechts. Vermenigvuldigen van twee complexe getallen doe je door de hoeken op te tellen en de lengtes te vermenigvuldigen. Als je dus i x i doet, heb je 2x een hoek van 90 graden, samen 180 graden. De lengte van de pijl van 0 naar i is 1 en 1x1=1. Zo zie je dus dat ixi uitkomt op een getal dat 180 graden vanaf het getal 1 ligt en op afstand 1 vanaf de 0, en dat is precies -1! Zo zie je dus dat i^2 oplevert -1. Nu i^7 .. dan krijg je dus 7x een hoek van 90 graden, gezien vanaf de pijl die van 0 naar het getal 1 gaat. 4x 90 graden is precies 1x rond. 7x 90 graden wijst dus naar "beneden", in de richting van -i. Omdat de "lengte" van i gelijk is aan 1, is de "lengte" van i^7 ook 1, want 1^7=1. Het antwoord is dus: i^7 = -i Opm.: Je ziet dat met deze manier van "rekenen" met complexe getallen, de "gewone" getallen gewoon meedoen, omdat bij getallen als 1, 2, 24 en 56.3 die hoek met de x-as 0 is en je dus alleen de lengtes hoeft te vermenigvuldigen. Opm.2: i^3= ook -i, i^8=1, i^9=i, etc… De link is de bron van het bijgevoegde plaatje waarin je o.m. de getallen 1, -1, i en -i ziet afgebeeld zoals hierboven beschreven.

Bronnen:
http://world.mathigon.org/resources/Real_I...

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100