een grafiek en de x-as sluiten een vlakdeel in wat vervolgens om de y-as word gewenteld, hoe doe je dit het makkelijkst?

(dit is geen huiswerk of iets!), mijn leraar heeft aan een aantal leerlingen die geïntereseerd zijn in wiskunde uitdagende en moelijke problemen gegeven die we in principe niet hoeven te weten, dit is puur omdat we het leuk vinden. de orignele vraag was: De grafiek van f(x) = 4x – x3 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wordt gewenteld om de y-as.
de twee stukken waar het om gaat staan in het 1e en in het 3e kwadrant, ze zijn echter symetrisch dus je kan het op het eind gewoon met 2 verminigvuldigen. omdat wij zelf altijd om de x-as werntelen heb ik hem eerst gespielegd met de lijn y=x. hier schiet je (zoals verwacht) niet heel veel mee op. dit omdat het fout gaat waneer je de integraal wilt nemen. als je de normale funtie integreerd naar x dan krijg je de oppervlakte, die oppervlakte van een enkel vlakdeel is gelijk aan 4. maar zo gauw je hem om de y-as wilt wentelen moet je hem over y gaan integreren.
nogmaals, ik vreaag niet zozeer om een oplossing, vind het veel te leuk om het zelf te doen, maar meer om een hint of een tip hoe je zoiets in het algemeen kan aanpakken.
bedankt voor het lezen in ieder geval als u tot hier bent gekomen! en sorry voor al de spel fouten die erin staan...

Weet jij het antwoord?

/2500

Hierbij de gevraagde tip: Zie het als het verschil van twee omwentelingslichamen om de y-as. Van het stukje wat ik blauw omlijnd heb moet dat vast lukken en van het rood omlijnde stukje ook. Het verschil van die twee is dus de inhoud van het gevraagde lichaam.

Neem een smal verticaal balkje, staande op de x-as, ter plekke x, met een hoogte f(x) en een breedte dx. Als je dat balkje om de y-as wentelt krijf je een cilinder"wandje" met dikte dx. Hiervan kun je het volume berekenen. Tot zover de tip.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100