Waarom past de oppervlakte van een cirkel 4 keer op een bol?

Dat is gewoon omdat het zo is. Om dezelfde reden dat één plus één twee is.

Je kunt uitrekenen dát het zo is (een van de meer voor de hand liggende manieren zou mbv integraalrekening zijn), maar daarmee is in mijn ogen het "waarom" niet echt beantwoord.

Met meetkundige bewijzen lukt dat iets beter, hoewel het ‘indirect’ blijft voor mijn gevoel.

Archimedes kon het volgende bewijzen:

Stel je voor dat een bol met straal r in een cilinder wordt geschoven waarin die precies past , een cilinder dus die niet kleiner kan (dus een cilinder met straal r, en hoogte 2r). In wiskundige termen, beschouw de ‘omgeschreven cilinder’ van de bol.

Verdeel de bol en de cilinder nu in horizontale plakjes van dikte h. Dan blijkt dat voor ieder ‘plakje’ het oppervlak van de oorspronkelijke bol dat in het ‘plakje’ valt, gelijk is aan het oppervlak van de cilinder dat in dat ‘plakje’ valt (**).

zie http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesHat-BoxTheorem.html voor een illustratie.

Omdat dit dus voor al die plakjes geldt , over de hele bol heen , volgt hieruit dat het boloppervlak gelijk is aan het manteloppervlak van de cilinder. En die is (omtrek grondvlak) * hoogte = 2 * Pi * r * 2r = 4 Pi r ^2.

(**) : Waarom dit zo is ? Even heel globaal en informeel gezegd:

1. De ‘omtrek’ van het stukje van het boloppervlak wordt steeds kleiner, naarmate je
plakje verder van de evenaar van de bol zit

2. De ‘hoek’ die het boloppervlak ten opzichte van het grondvlak van het plakje maakt wordt steeds scherper, als gevolg daarvan krijg je juist steeds ‘meer’ boloppervlak per hoogteverschil h.

3) deze twee factoren vallen precies tegen elkaar weg omdat een bol de eigenschap heeft dat overal de straal van de bol loodrecht op het boloppervlak staat. Factor 1 ) kan je namelijk uitdrukken in (o.a.) de hoek die de bolstraal tov het plakje maakt, en met factor 2 kan dat ook, en die twee vallen precies tegen elkaar weg).

(Precies uitwerken is niet heel moeilijk, maar werkt prettiger met tekeningen en formules die ik hier niet zo makkelijk kan maken, daarom geef ik hier alleen het idee. Als je het wiskundig netjes wilt doen moet je vervolgens h nog naar nul laten gaan, en dat soort technisch geneuzel) .


Zie ook http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere , het eerste stukje onder ‘area’, en http://math.stackexchange.com/questions/29276/why-do-4-circles-cover-the-surface-of-a-sphere voor een iets wiskundiger verwoording.