hoe los je deze vergelijking op?

Ik heb deze som van een tijdschrift, maar ik vind hem moeilijker dan hij dacht. Hij is alsvolgt: a^2+b^3=7148 en b^2+a^3=5274. Wat is nu a en wat is b, hoe reken je dat uit?

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Het hangt er maar vanaf wat de precieze bedoeling is. Ik kwam er zo in eerste instantie niet uit, gooide het stelsel in maple (computeralgebrasysteem) en kreeg er een negental impliciete oplossingen met complexe getallen uit. Dat is ook geen wonder want als je de ene vergelijking in de andere substitueert en vereenvoudigt door tot de juiste machten te verheffen, krijg je uiteindelijk een negendegraadsvergelijking : iets als (5274- a^3 ) ^3 = (7148 - a ^2 ) ^2 Er zit echter één simpele en expliciete oplossing bij, en die luidt : a= 17, b= 19. Als het de bedoeling is dat je deze oplossing eruit krijgt, moet je dus aanvullende eisen stellen. Vaak zijn dat eisen als : het moet een uitkomst in gehele, natuurlijke getallen zijn. Ik ging googlen en vond deze uitwerking op http://www.wiskundeforum.nl/viewtopic.php?f=38&t=7723 (een korte toelichting door mij herschreven maar voor de rest gewoon geplakt). Ik zeg er eerlijkheidshalve meteen bij dat ik niet denk dat ik hier zelf op zou zijn gekomen. Er is gegeven: a^2+b^3=7148 a^3+b^2=5274 dus (trek deze twee vergelijkingen van elkaar af): a^2 - a^3 + b^3 - b^2 = 7148 - 5274 = 1874 Stel nu b = a+c: a^2 - a^3 + (a+c)^3 - (a+c)^2 = 1874 werk de machten uit: a^2 - a^3 + a^3 + 3a^2c + 3ac^2 + c^3 - a^2 - 2ac - c^2 = 1874 tegengestelde termen vallen tegen elkaar weg: 3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874 dus c is een deler van 1874 = 2 * 937 (we gaan dus blijkbaar van geheeltalligheid van de oplossing uit) Nu is c = b-a. Maar als we naar de oorspronkelijke vergelijkingen kijken zien we dat zowel a^3 + b^2 als a^2 +b ^3 even getallen opleveren. Dit kan alleen maar als OFWEL a EN b beide even zijn, ofwel a EN b beide oneven zijn. Maar in beide gevallen is c= b-a even. Dus moet c hier 2 zijn—als we er vanuit gaan dat de oplossing geheeltallig moet zijn. Hierdoor reduceert 3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874 tot 6a^2 + 12a + 8 - 4a - 4 - 1874 = 0 ofwel 6a^2 + 8a - 1870 = 0 ofwel 3a^2 + 4a - 935 = 0 ofwel (a-17)(3a+55) = 0 waardoor (a is geheel): a=17 en dus b = a+c = 17+2 = 19

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100