Hoe bereken ik het aantal mogelijkheden, met opgegeven getallen?

Bijvoorbeeld:
Hoeveel pincodes kan ik maken met de getallen 5,6 8 en 8. De pincode bestaat dus uit 4 cijfers in totaal

Weet jij het antwoord?

/2500

het eerste getal heb je 4 mogelijkheden, want je hebt vier verschillende getallen. Het tweede getal 3, want het eerste getal bezet namelijk al één getal, je hebt dan nog drie getallen over die je op de tweede plek kan neerzetten. het derde getal kan dan nog twee mogelijkheden bevatten, want de eerste twee plekken bezetten allebei al een getal. En dan heb je als vierde getal nog één mogelijkheid over. 4*3*2*1 = 24 mogelijkheden. Toegevoegd na 2 uur: Foutje, door de dubbele 8 halveert het aantal mogelijkheden. 5688 5868 5886 6588 6858 6885 8865 8856 8685 8658 8586 8568 Dit zijn alle 12 mogelijkheden.

Je wil het aantal (verschillende) volgordes tellen van de cijfers 5, 6, 8 en 8. Dit is bijvoorbeeld ook het aantal anagrammen van iemand met de naam 'Toon'. De pincode bestaat uit 4 cijfers waarvan er eentje dubbel voorkomt; zo bestaat ook de naam 'Toon' uit 4 letters waarvan er eveneens eentje dubbel voorkomt. Het is gemakkelijker wanneer alle cijfers (of letters, in het geval van een naam of een ander woord maar ik zal voor de eenvoud hier met cijfers blijven werken) verschillen. Het aantal mogelijke volgordes bij n cijfers is dan n!, bij 4 is dat dus 4! = 4*3*2*1 = 24. Dat komt omdat je voor het eerste cijfer nog kan kiezen tussen de 4 mogelijke cijfers, voor het tweede cijfer heb je nog maar keuze uit 3 (de 3 overblijvende), dan 2 en de laatste ligt vast. Als er nu bepaalde cijfers meerdere keren voorkomen en je telt tóch op bovenstaande manier, dan vind je meer mogelijkheden dan er echt zijn. Je 'telt' dan namelijk de mogelijkheden waarbij je de gelijke cijfers ook onderling verwisselt, maar dat zorgt niet voor een nieuwe pincode! De twee achten van plaats verwisselen in bijvoorbeeld '5868' zorgt niet voor een nieuwe pincode. Bij elke mogelijke pincode tel je dus eigenlijk alles dubbel: namelijk de onderlinge wissel van de achten. Als je dus eerst 'doet alsof' alle cijfers verschillen en via 4! dan 24 mogelijkheden vindt, dan deel je nog door 2 om aan 12 te komen. Eigenlijk deel je door 2 omdat je die achten op 2! = 2 manieren onderling kan verwisselen. Pincodes met bijvoorbeeld de cijfers 5, 8, 8, 8 zijn er nog minder, omdat je nu die drie achten op 3! = 3*2*1 = 6 manieren onderling kan verwisselen. De truc werkt nog steeds: 'doe alsof' ze alle vier verschillen om aan 4! = 24 te komen, maar deel door 3! = 6: het aantal manieren waarop je de achten onderling kan verwisselen. Er zijn dus 4!/3! = 24/6 = 4 mogelijkheden (namelijk 5888, 8588, 8858, 8885). Als je dit begrijpt, is het gemakkelijk om naar ingewikkeldere codes te kijken. Voor een pincode van 10 cijfers met de cijfers 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7 (dus de 1 twee keer en de 4 drie keer) kan je eerst doen alsof ze allemaal verschillen, dan zijn er 10! mogelijkheden. Maar we moeten delen door 2! (voor de verwisselingen van de enen) en door 3! (voor de verwisseling van de vieren); er zijn dus 'maar' 10!/(2!3!) = 302400 mogelijkheden. Dat is bijvoorbeeld ook het aantal anagrammen van 'Sebastiaan': een naam van 10 letters waarvan er eentje dubbel voorkomt en een andere drie keer.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100