Hoe bereken ik de afstand tussen een lijn en een vlak, in een ruimtelijk figuur?

Is er een algemene methode om de afstand te berekenen tussen een bepaald vlak, en een lijn die evenwijdig op dit vlak staat, in de figuur?

Weet jij het antwoord?

/2500

Nee. Een berekenmethode impliceert dat er een verband is tussen het een en het ander. Het is mogelijk op alle mogelijke afstanden lijnen te trekken die evenwijdig lopen aan een vlak. Geen verband dus, tenzij je gaat meten, of je weet dat de lijn en het vlak zich weer bevinden in een afgebakende ruimte waarvan je de eigenschappen kent. Probleem: het heelal is geen afgebakende ruimte...

Hier staat volgens mij de formule die je nodig hebt. Zoek in de webpagina naar deze tekst: "De afstand d(P,v) is gelijk aan de afstand d(P,S)" http://www.johnval.nl/school/wiskunde/wiskundeD/lineaire_algebra/lineairealgebrase3.xht Als de lijn evenwijdig loopt, volstaat het één punt op die lijn te nemen en dan de kortste afstand tot het vlak te berekenen.

Dit is een interessant artikel: http://www.pandd.nl/stereo/afstanden.htm Als de lijn het vlak níét kruist, is de afstand geen 0. Je moet eerst even een schets geven. Wat weet je over het vlak; wat over de lijn?

Je kunt de afstand berekenen met behulp van de tangens. De afstand van een lijn tot een vlak, is een lijnstuk loodrecht op het vlak, ik neem aan evenwijdig aan het vlak, dus ook loodrecht op de lijn. Je doet dit door uit een willekeurig punt op de lijn een loodrechte lijn te trekken naar het vlak. Je weet natuurlijk niet de lengte van die lijn. Die krijg je door uit een tweede punt (A) op de lijn, zeg maar op 20 cm afstand van het eerste, een lijn te trekken naar het snijpunt van de eerder getrokken loodrechte lijn met het vlak. Je krijgt nu een driehoek. Je meet de hoek bij punt (A). Daar neem je de tangens van. Je weet wel, die is de overstaande rechthoekzijde gedeeld door aanliggende (20 cm) op jouw lijn. Zo krijg je de lengte van de overstaande rechthoekzijde en dus de afstand van jouw lijn tot het vlak.

Het eenvoudigst werkt het als je een algemene formule voor een lijn loodrecht op het vlak neemt. Daarvoor moet je een vector vinden die loodrecht op het vlak staat. Dat kun je doen door twee willekeurige vectoren liggend op het vlak te nemen. De vector die daar loodrecht op staat staat loodrecht op de ene vector en loodrecht op de andere vector. Dat betekent dat het inproduct in beide gevallen 0 moet zijn. (A,X)= 0 en (B,X)=0. Voor X1 neem je een handig getal (1 bv.) en je kunt de richtingsvector loodrecht op het vlak uitrekenen. Dan stel je dat de kortste afstand tussen een punt en het vlak via de loodlijn gaat. Je maakt dus een vergelijking voor een lijn door een willekeurig punt (P) op de lijn en met de richting loodrecht op het vlak (die heb je doordat je X hebt uitgerekend. Die vergelijking ziet er dus zo uit L=P + Lambda *(X) L1=P1+Lambda*X1 , L2 = L2+ Lambda * X2, L3 = P3 + Lambda*X3Nu moet je het snijpunt tussen die lijn en het vlak (Q) berekenen.Dat doe je simpelweg door de vergelijking van de loodlijn door P gelijk te stellen aan de vergelijking van het vlak, het snijpunt moet aan beide vergelijkingen voldoen Je hebt dan een punt op het vlak en het gekozen punt op de lijn. Met deze twee punten kun je de stelling van Pythagoras toepassen in 3D om de afstand te bepalen:wortel( (P1-Q1)^2+(P2-Q2)^2+(P3-Q3)^2). Ik hoop dat je het idee een beetje begrijpt. 1 Een richtingsvector loodrecht op het vlak zoeken, door middel van 2 inproductvergelijkingen en 1 element van de vector 1 te stellen. 2 Stellen dat de lijn die je moet hebben door een punt op de lijn gaat en de richting heeft loodrecht op het vlak. (die richting had je net uitgerekend), het punt kun je vrij kiezen omdat elk punt op de evenwijdige lijn dezelfde afstand tot het vlak heeft. 3 Snijpunt van het vlak en de lijn bepalen door de lijnvergelijking die je net hebt opgesteld gelijk te stellen aan de vlakvergelijking. 4 Met pythagoras de afstand tussen het gekozen punt en het snijpunt op het vlak berekenen. Op wikipedia staan de vergelijkingen die je hanteert als je een punt hebt en een richtingsvector uitgelegd.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100