Hoe werkt de eenheidscirkel?

Het staat in mijn wiskunde boek uitgelegd. Maar ik zie niet wat het met de cos of sin te maken heeft.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Als je de lengtes wil uitrekenen van een driehoek, gegegebruik je de sinus, cosinus of tangens. Het ezelsbruggetje SosCasToa zal vast ook in je boek genoemd worden. Stel je moet de sinus van 45 graden uitrekenen, want deze heb je nodig voor je driehoek. Als je dit op je rekenmachine intypt, krijg je geen mooi getal: je kan er geen bruik van maken. Dit komt omdat het een wortel is, namelijk 0,5 wortel 2. Voor al deze waardes is er een tabel gemaakt. (afbeelding 1). Maar hier wordt gebruik gemaakt van pi, in plaats van graden. De eenheidscirkel heeft namelijk een omtrek van 2pi, en je weet dat een cirkel 360 graden is. Een halve cirkel is 180 graden en 1 pi. 1/3 pi staat dan voor 60 graden (180/3). Als je nu in een vraagstuk de sinus moet uitrekenen van 45 graden, weet je dat dit 1/4 pi is (180/45 = 1/4). Nu kan je bij de eenheidscirkel kijken bij 1/4 pi wat daar dan uitkomt. Sinus is de y-as en cosinus de x-as. Van 1/4 pi kijk je wat er staat bij de y-as en dat is je antwoord. Dit antwoord klopt, want dat staat ook in de tabel. De tabel kan je alleen voor de gegeven waardes gebruiken en de eenheidscirkel bijvoorbeeld ook voor het aflezen van sin 1 3/4 pi etc. Toegevoegd na 5 minuten: Op het tweede plaatje heb ik een foto staan die uit mijn wiskunde boek komt, misschien snap je dan wat ik bedoel.

Traditioneel wordt de sinus en de cosinus als een deling van de overstaande respecctievelijk aanliggende zijde van een hoek gedeeld door de schuine zijde gedefinieerd. Het is echter ook mogelijk de lengte van de schuine zijde op 1 te stellen (dan hoef je niet meer te delen) en alle mogelijke combinaties van driehoekszijdes uit te tekenen en dan verschijnt de eenheidscirkel. Omgekeerd kun je bij elk punt van de eenheidscirkel een rechthoekige driehoek intekenen.De lengte van de rechtopstaande zijde is de sinus van de hoek en lengte van de liggende zijde is de cosinus. In de wiskunde is de hoek ook erg handig gedefinieerd, dat is de lengte van het kromme lijntje als je de eenheidscirkel volgt vanaf het punt (1,0).

Bij een eenheidscirkel hebben we afgesproken dat de lengte van de straal altijd precies 1 is. Het maakt niet uit wat voor één. (zie het plaatje van chocolaatje). De cirkel(boog) is verdeeld in graden of in radialen. Een radiaal is hetzelfde als een straal. Je kunt in een cirkel een oneindig aantal radiale trekken. Het aantal radialen wordt uitgedrukt in het getal pi en loopt op de cirkel van 0 tot 2pi. Leg een denkbeeldig horizontaal stokje, dat zowel de verticale straal(in het plaatje de sinus-as genoemd) als de cirkel raakt, horizontaal op de horizontale straal(de z.g. cosinus as). Als je nou dit stokje van beneden naar boven duwt dan zie je op de verticale as de sinus-eenheden van 0 tot 1 en op de cirkel de radialen (of graden). Als je halverwege op de sinus-as bent beland, dan zit je op de cirkel bij pi/6 of bij 30 graden. Nu snapt je waarom sinus te maken heeft met hoekmeting. Ga je verder tot helemaal bovenaan, dan zit je op sinus-as = 1 en de cirkel pi/2 of 90 graden. Ga je verder dan daalt het stokje zowel op de as (van 1 naar 0) als op de cirkel(van een half pi tot 1pi = 180 graden). Ga je verder dan wordt de sinus negatief, namelijk komt het stokje onder de z.g. cosinus-as. Het loopt dan van 1pi tot anderhalf pi naar 2pi. Maak je een assenstelsel en zet je de sinus waarden uit op Y-as en de radialen op de X-as dan zie je automatisch dat bekende sinusgolfje ontstaan. Bij de cosinus ga je van rechts naar links over de cosinus-as of te wel van 1 naar 0. Je daalt dus ahw op de cosinus-as. Op de cirkel "stijg" je van 0-pi naar pi/2. Ga je verder dan ga je over de negatieve kant van de cosinus-as(van 0 naar -1) en ga je op de cirkel van pi/2 naar 1pi. Dan terug enz.enz. Vandaar dat de cosinus eerst daalt tot -1 en weer stijgt tot 1. Kijk, en zo werkt de eenheidscirkel.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100