Hoe kan het, dat als de som van alle cijfers van een getal deelbaar is door drie, het getal zelf ook deelbaar is door drie?

Het trucje werkt, maar ondanks veel pogingen kan ik het niet aantonen.

Even een toevoeging: 81 => 8+1 = 9. Dit is deelbaar door 3, dus 81 ook.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Wiskundige bewijzen zijn altijd lastig maar hier is het. Ik beperk mij voor de eenvoud tot getallen bestaande uit drie cijfers maar de redenering gaat op voor alle getallen. Gegeven: Een getal ABC waarbij geldt dat A + B + C deelbaar is door 3. Te bewijzen: ABC is deelbaar door 3. Bewijs: ABC is in het 10-tallig systeem te schrijven als: 100A + 10B + C. Een voorbeeld: 827 is in deze notatie: (100 x 8) + (10 x 2) + 7. Verder geldt: 100A + 10B + C = (99A + A) + (9B + B) + C = 99A + 9B + A + B + C = 3(33A + 3B) + (A + B + C). Het eerste deel is deelbaar door 3, en dan blijft over 33A + 3B. Het tweede deel is deelbaar door 3 want gegeven. De som van twee getallen die ieder deelbaar zijn door 3 is ook altijd deelbaar door 3, dus bewezen.

Niet altijd het geval. Kijk bijvoorbeeld naar 21. 21/3=7 7 is niet deelbaar door 3. Maar dit komt naar mijn idee omdat heel veel getallen deelbaar zijn door 3. Hoe dichter het getal bij de 1 zit hoe meer getallen het kan delen. Alle getallen zijn logischerwijze deelbaar door 1. Alle even getallen zijn deelbaar door 2.

19 => 1 + 9 = 10 niet deelbaar door 3

Het lijkt wel of mensen het niet snappen... *zucht* HALLO: Om te bepalen of een getal deelbaar is door 3, tel je alle cijfers bij elkaar op (net zolang je 1 cijfer hebt) en als DAT deelbaar is door 3, is het oorspronkelijke getal dat ook. Ik ben er een jaar of 10 geleden mee bezig geweest, geen idee meer naar de wiskundige verantwoording: ga het even opzoeken en stuur je PM.

In het engels: Division by 3 Show that for any natural number n, n mod 3 = r.n mod 3 where r.n is the sum of the decimal digits in n. Define a natural number as follows: nat ! digit | (nat,digit) i.e., a natural number is either a single digit or a pair consisting of a natural number and a digit. Then r.n can be defined: r.(d: digit)= d r.(m, d) = r.m + d The proof is by structural induction on n. • n: digit :: n mod 3 = r.n mod 3, because n = r.n • n = (m, d):: n mod 3 = {n = 10m + d} (10m + d) mod 3 = {(a + b) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3) mod 3} (10m mod 3 + d mod 3) mod 3 = {10m mod 3 = m mod 3} (m mod 3 + d mod 3) mod 3 = {induction hypothesis: m mod 3 = r.m mod 3} (r.m mod 3 + d mod 3) mod 3 = {(a + b) mod 3 = (a mod 3 + b mod 3) mod 3} (r.m + d) mod 3 = {r.n = r.m + d} r.n mod 3 OK?

Bronnen:
http://www.cs.utexas.edu/users/misra/Notes...

Heeft volgens mij ermee te maken dat we werken met een decimaal getallenstelsel en dat er dus net 3x3 binnen 10 past. De eerst volgende na 10 is twaalf, dat is een rest van twee (2) boven 1 x tien, en dit is samen 3.

Neem een getal bestaande uit 3 cijfers: abc. Hierin zijn a, b en c de getallen, bijvoorbeeld a=6, b=9 en c=3 -> 693. We nemen nu aan dat a+b+c deelbaar is door 3 en gaan onderzoeken of abc dan ook deelbaar is door 3. We kunnen abc schrijven als 100*a+10*b+c. Ofwel: 100*6+10*9+3=693. Nu gaan we dit wat anders opschrijven: 100*a+10*b+c = 99*a+a + 9*b+b + c; Hier staat nog precies hetzelfde als abc. Nu gaan we de som nog iets anders opschrijven, maar nog altijd blijft er abc staan: 99*a+a + 9*b+b + c = (99*a + 9*b) + (a + b + c). Hieruit kunnen we afleiden dat abc deelbaar is door 3, want: 99*a is deelbaar door 3, 9*b is deelbaar door 3 en (a+b+c) is deelbaar door 3 (dat is namelijk gegeven). Uiteraard werkt dit ook voor kleinere en grotere getallen dan 3-cijferige.