Hoe bereken je de diameter van een vijfpuntige ster?

Zie plaatje,

Als de ster van punt tot punt (rood) 70 cm is, wat is dan de diameter van de circel (blauw)?

Toegevoegd na 1 dag:
Dank jullie wel voor de uitleg!

Weet jij het antwoord?

/2500

Het beste antwoord

Het antwoord hierboven is vast juist, maar helemaal begrijpen doe ik het niet. Hierbij een poging tot een helderder antwoord. Het is een regelmatige vijfhoek, dus de sterhoekpunten liggen (inderdaad) 360/5 = 72 graden uit elkaar. Of, als je in radialen rekent, 2pi/5 = 2/5*pi. Hieronder heb ik dezelfde tekening gemaakt, maar nu zonder de ster. Hierin is te zien dat het sterhoekpunt een hoek met een x-as maakt van 90 - 72 = 18 graden. Of, in radialen, 1/2*pi - 2/5*pi = 1/10*pi Beschouw dan de driehoek: schuine lijn + groene lijn + x-as. De schuine zijde is de straal van de cirkel; de x is gelijk aan de halve rode lijn. Hierin is: cosinus(hoek) = aanliggende / schuine. cosinus(18deg) = x / r cosinus(18deg) = 35 / r r = 36.80 cm of in radialen: cosinus(1/10*pi rad) = x / r cosinus(0.314 rad) = 35 / r r = 36.80 cm Hiermee is de blauwe lijn: 73.602 cm = 73.6 cm

Als je goed kijkt zie je dat de rode lijn net zo lang is als de zwart-groen-zwart lijnen aan beide kanten van de blauwe lijn. Verder, het is een regelmatige vijfhoek, als je de 5 punten van de ster op de rand van de cirkel met elkaar verbindt. De blauwe lijn snijdt precies 1 van de zijdes van deze vijfhoek. De punten van de vijfhoek liggen op 360/5=72 graden afstand van elkaar. De blauwe lijn ligt 72/2=36 graden vanaf het dichtsbijzijnde punt van de vijfhoek. Zie nu de blauwe lijn als de straal van de eenheidscirkel en het punt van de vijfhoek waar je de coordinaten van wilt weten. Gebruik nu sin/cos om deze coordinaten te bepalen. Je weet dan ook de coordinaten van het snijpunt van de blauwe lijn met de zijde van de vijfhoek. Dit vormt een rechthoekige driehoek. Gebruik nu pythagoras om de lengte van de schuine zijde te berekenen. Je hebt nu de lengte van de zwart-groen-zwarte lijn in de eenheidscirkel. Die maal 70 is gelijk aan de lengte van de rode lijn.

Bovenstaand antwoord is misschien juist, maar echt snappen doe ik het niet. Ik poog een helderder antwoord. Het is een regelmatige ster. De hoekpunten liggen dus (inderdaad) 360/5=72graden uit elkaar. Of, als je in radialen rekent, 2pi/5 rad uit elkaar. Ik heb een plaatje gemaakt, waarin ik de rode lijn heb laten staan, maar de rest van de ster heb weggehaald. De hoek, die het sterpunt maakt met de x-as is nu de helft van de ster-hoek, dus 36graden (of 2pi/10) Cosinus(hoek) = aanliggend / schuin Cosinus(36grad) = x / r Cosinus(36) = 35 / r ==> r = 43.26 cm Of in radialen: Cos(2pi/10 rad) = 35 / r ==> r = 43.26 cm De blauwe lijn is daarmee 86.52 cm

Het antwoord hierboven is vast juist, maar helemaal begrijpen doe ik het niet. Hierbij een poging tot een helderder antwoord. Het is een regelmatige vijfhoek, dus de sterhoekpunten liggen (inderdaad) 360/5 = 72 graden uit elkaar. Of, als je in radialen rekent, 2pi/5 = 2/5*pi. Hieronder heb ik dezelfde tekening gemaakt, maar nu zonder de ster. Hierin is te zien dat het sterhoekpunt een hoek met een x-as maakt van 90 - 72 = 18 graden. Of, in radialen, 1/2*pi - 2/5*pi = 1/10*pi Beschouw dan de driehoek met rode lijn + schuine lijn + x-as. De schuine zijde is de straal van de cirkel. Hierin is: cosinus(hoek) = aanliggende / schuine. cosinus(18deg) = x / r cosinus(18deg) = 35 / r r = 36.80 Hiermee is de blauwe lijn: 73.602 cm = 73.6 cm Toegevoegd na 2 minuten: of in radialen: cosinus(hoek) = aanliggende / schuine. cosinus(1/10*pi rad) = x / r cosinus(0.314 rad) = 35 / r r = 36.80 cm

Mogelijk help ik je een eind op weg met het volgende: Als je de snijpunten van de blauwe diameter met de cirkel verbindt met de snijpunten van de rode lijn met de cirkel ontstaat er een vlieger, en wel eentje waarvan de zijden(teken maar) loodrecht op elkaar staan. Je kunt nu bewijzen dat een driehoek boven(de rode lijn) gelijkvormig is met een driehoek onder. Noem het blauwe lijnstuk boven a en onder b. Je weet ook dat de lengte van een koorde gerelateerd is aan de booglengte. Je kunt bewijzen dat de booglengte van blauwe naar rode lijn onder anderhalf keer de lengte is van boven. Je krijgt dan de verhouding a : 35 = 1 : 1,5 [=> a = 23+(1/3)]. Kijkend naar je 2 driehoeken zie je: a : 35 = 35 : b => a*b = 35*35. Je weet hoe lang a is en je weet dat de blauwe diameter = a+b. Dus....

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100